Hallo Niki,
Zunächst ist es wichtig zu wissen, dass man Vektoren im Prinzip frei im Raum verschieben kann. Das bedeutet, dass \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\) der gleiche Vektor sind, genau wie z.B. \(\vec{AE}\) und \(\vec{BF}\). Wen Du \(\vec{AG}\) darstellen möchtest, so starte beim Punkt \(A\) und laufe z.B. über die Punkte \(B\) und \(F\) zum Punkt \(G\). Damit erhältst Du den Weg:
$$\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG}$$
Jetzt ist aber - wie oben schon gesagt:
$$\vec{FG}=\vec{BC}=\vec{b}$$
damit erhält man
$$\vec{AG} = \vec{a} + \vec{c} + \vec{b}$$
Genauso kommst Du zum Vektor \(\vec{FD}\). Starte im Punkt \(F\) und laufe z.B. über die Punkte \(E\) und \(H\) nach \(D\). Damit ist
$$\vec{FD}=\vec{FE}+\vec{EH}+\vec{HD}$$
\(\vec{EH}\) ist wieder gleich \(\vec{BC}=\vec{b}\). \(\vec{FE}\) ist parallel zu \(\vec{AB}\), läuft aber in die andere Richtung. D.h.:
$$\vec{FE}=-\vec{AB}=-\vec{a}$$
Genauso verhält es sich mit \(\vec{HD}\). Es ist \(\vec{HD}=-\vec{BF}=-\vec{c}\). Also ist
$$\vec{FD}=-\vec{a} +\vec{b}-\vec{c}$$
zu e) Nun - der Mittelpunkt des Quaders ist auch der Mittelpunkt jeder Diagonale. Und die Diagonale von \(F\) nach \(D\) hast Du schon berechnet. Folglich ist der gesuchte Vektor - ich nenne ihn mal \(\vec{e}\)
$$\vec{e}=\frac{1}{2}\vec{FD}=\frac{1}{2} \left(-\vec{a} +\vec{b}-\vec{c} \right)$$
und wenn Du nun die Koordinaten einsetzt, ist $$\vec{a}=\vec{AB}=B-A=\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\vec{b}=\begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \vec{c}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$$
und
$$\vec{e}=\frac{1}{2}\left( -\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \right)=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -8 \\ -5 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2,5 \\ -2,5 \end{pmatrix} $$
Gruß Werner
