Hilfe bei Vektorgeometrie Aufgabe im Quader

Question

Aufgabe:

Ich muss hier das Skalarprodukt von Vektoren HM₁ • BM₂ durch die Vektoren a, b, c ausdrücken und dann das Resultat soweit möglich vereinfachen.

Ich habe es paar mal versucht, aber ich bekomme jedes mal eine komische Lösung. Ich habe keine Musterlösung.

Kann mir jemand vielleicht weiterhelfen? Danke viel mals im Voraus!
Problem/Ansatz:

Answer 1

Versuche doch mal sowas:

Vektor HM₁ = HA + AM₁ = (-b-c)  + ( a + 0,5(b+c))

Vereinfachen und das Entsprechende für BM₂ versuchen.

Ich komme auf (Rechne lieber mal nach!)

(a-0,5b-0,5c)•(-0,5a+0,5b+c)

Da a,b, c paarweise aufeinander senkrecht stehen, sind die

entsprechenden Skalarprodukt a•b , a•c etc. gleich 0 und es bleiben

beim Auflösen der Klammern nur die Summanden, bei denen

das Skalarp. eines Vektors mit sich selbst vorkommt,

und das ist immer das Quadrat der Länge, also bleibt

-0,5|a|² -0,25|b|² -0,5|c|² .

Answer 2

Mit Koordinatengeometrie: Setze den Ursprung in Punkt A.

Dann gilt

 \( \vec{a} \)=\( \begin{pmatrix} a\\0\\0 \end{pmatrix} \)

\( \vec{b} \)=\( \begin{pmatrix} 0\\b\\0 \end{pmatrix} \)

\( \vec{c} \)=\( \begin{pmatrix} 0\\0\\c \end{pmatrix} \)

Du sollst \( \begin{pmatrix} a\\-0,5b\\-0,5c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -0,5a\\0,5b\\c \end{pmatrix}\) berechnen.

Das ist -0,5a² -0,25b² -0,5c²  bzw. \(-0,5 \vec{a} ² -0,25 \vec{b}² -0,5 \vec{c}² \).