Berechne ohne digitales Werkzeug

Question

Es sei \( \sqrt{a} \)+\( \sqrt{b} \)=4 und a·b=1. Berechne a·\( \sqrt{a} \)+b·\( \sqrt{b} \) ohne digitales Werkzeug.

Comments

In der Kettenbruchdarstellung ist$$a= [0;13,\overline{1,12}], \quad b=[13;\overline{1,12}]$$bzw. umgekehrt.

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a√a + b√b = √(a^3 + 2 + b^3) = √((a+b)^3 - 3ab(a+b) +2)
= √(((√a+√b)^2-2)^3 - 3((√a+√b)^2-2) + 2) = √((4^2-2)^3 - 3(4^2-2) +2)
= √(14^3 - 3·14 + 2)
weiter komme ich nicht ohne digitales Werkzeug.

t war schneller - und besser

Answer 1

Setze

\(s^2=a, \, t^2=b\Rightarrow s+t =4,\, st=1\)

\(a\sqrt a + b\sqrt b = s^3+t^3 = (s+t)(s^2-st+t^2)\)

\(16 = (s+t)^2 = s^2+t^2 + 2\)

\(a\sqrt a + b\sqrt b = 4(14-1) = 52\)

Answer 2

 \( \sqrt{a} \)+\( \sqrt{b} \)=4 

Beide Seiten hoch 3:

\(a\sqrt{a} +3a\sqrt{b}+3b\sqrt{a} +b\sqrt{b} =64\)

\(a\sqrt{a} +b\sqrt{b} =64-(3a\sqrt{b}+3b\sqrt{a})\)

\(a\sqrt{a} +b\sqrt{b} =64-3\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\)

\( \sqrt{a} \)+\( \sqrt{b} \)=4 und a·b=1 eingesetzt:

\(a\sqrt{a} +b\sqrt{b} =64-3\cdot 1 \cdot 4\)

\(a\sqrt{a} +b\sqrt{b} = 52\)

Comments

Ich finde diese Herleitung des Ergebnisses noch schöner. Und ist auch nicht länger, weil keine Umformungsschritte weggelassen wurden.

Answer 3

a*b= 1

b= 1/a

√a+√b = 4

a^0,5+ (1/a)^0,5=4

substituieren: a^0.5 = z

z+1/z =4

z^2-4z+1 = 0

z1/2 = 2±√(4-1) = 2±√3

a= z^2

a= (2±√3)^2 = 4±4√4+3 = 7±√3

b= 1/( 7±√3)

Der Rest ist Formsache.

Comments

Ist der Rest wirklich Formsache?

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Du hast Dich bei a vertippt.

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Ist der Rest wirklich Formsache?

Ja. Allerdings eben auch mit Arbeit verbunden

mit z = 2 ± √3

a·√a + b·√b = z^3 + 1/z^3 = 52