Bestimme a·b·c·d ohne digitales Werkzeug.

Question

Sei a=\( \sqrt{2+\sqrt{3}} \), b=\( \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \), c=\( \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \) und d=\( \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \). Bestimme a·b·c·d ohne digitales Werkzeug.

Comments

Ist das als Konzentrationsübung gedacht? Wie motivierst du einen nicht so mathe-affinen Schüler, sich damit auseinanderzusetzen? Was ist hier das Lernziel und der Sinn der Aufgabe? Würdest du sie in einer Klassenarbeit verwenden?

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Antworten an simple mind:

Ist das als Konzentrationsübung gedacht?

Ja, auch.

Wie motivierst du einen nicht so mathe-affinen Schüler, sich damit auseinanderzusetzen?

Manche kann man nicht motivieren,

Was ist hier das Lernziel und der Sinn der Aufgabe?

Es geht um den Nachweis von Geschick gepaart mit Umfomungsfertigkeiten.

Würdest du sie in einer Klassenarbeit verwenden?

Nein.

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Danke. Ich sehe es ähnlich wie du.

Geschick setzt immer viel Erfahrung voraus. Für Anfänger ist das mMn weniger geeignet und kann sogar entmutigen.

Answer 1

Ich berechne zunächst \(a^2b^2c^2d^2\).

Setze:
\(w=a^2 = 2+\sqrt 3\)

\(\Rightarrow b^2 = 2 +\sqrt w\)

\(\Rightarrow c^2 = 2 +b\)

\(\Rightarrow d^2 = 2 -b\)

\(\Rightarrow c^2d^2 = 4 -b^2 = 2-\sqrt w\)

\(\Rightarrow b^2c^2d^2 = 4-w= 2- \sqrt 3\)

\(\Rightarrow a^2b^2c^2d^2 =(2+\sqrt 3)(2- \sqrt 3) = 1\)

Da \(a,b,c,d > 0\) ist also \(abcd=1\).

Comments

man muss es doch gar nicht quadrieren. Besser man schreibt die Aufgabestellung gleich verkürzt hin:$$\begin{aligned} a&=\sqrt{2+\sqrt{3}} \\ b&=\sqrt{2+a} \\ c&=\sqrt{2+b} \\ d&=\sqrt{2-b} \\ \end{aligned}$$und dann 'von hinten' multiplizieren und immer mit der 3.binomischen im Kopf:$$\begin{aligned} cd &= \sqrt{2-a} \\ bcd &= \sqrt{2-\sqrt{3}} \\ abcd &= \sqrt{4-3} = 1 \\ \end{aligned}$$

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Werner, die von dir genannte Lösung hatte ich erwartet. Da sie nicht kam, fiel meine Auszeichnung auf trancelocation.

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...und dann 'von hinten' multiplizieren und immer mit der 3.binomischen im Kopf...

Genau so habe ich das gemacht und dazu auch gleich auf die in der Frage noch verwendeten Variablen verzichtet, und auf diese Weise eine schöne Kopfrechenaufgabe draus gemacht.

Answer 2

$$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \left(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \left(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\right)\right)=\\ \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \left(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right)=\\ \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1.$$

Ich habe die Wurzeln in der gezeigten Reihenfolge multipliziert und dabei jeweils die dritte binomische Formel verwendet.

(Änderung: Zwei Pluszeichen durch die hier richtigen Minuszeichen ersetzt.)