Da der Ausdruck auf der linken Seite sowieso erst für \(x\geq 4\) definiert ist, hab ich mal gesetzt:
\(x=4+t\) mit \(t\geq 0\)
Das ergibt:
\(\sqrt{4+t + 4\sqrt t}- \sqrt{4+t - 2\sqrt{t+3}} =1 \quad (1)\)
Jetzt hab ich nicht schlecht geguckt, denn wir haben nun zwei vollständige Quadrate:
\((2+\sqrt t)^2 = 4+t+4\sqrt t\)
\((\sqrt{t+3}-1)^2 = 4+t-2\sqrt{t+3}\)
Damit erhalten wir für (1):
\(2+\sqrt t - (\sqrt{t+3} - 1) = 1 \Leftrightarrow \sqrt{t+3} - \sqrt t = 2 \)
Nun gilt aber:
\(\sqrt{t+3} - \sqrt t = \frac 3{\sqrt t + \sqrt{t+3}} \leq \frac 3{\sqrt 3} < 2 \)
Also gibt es keine reelle Lösung.
