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ABC ist gleichschenkeliges Dreieck mit der Schenkellänge 5 und der Basis 4. ABC ist außerdem Grundfläche einer geraden Prismas (siehe Abbildung):

blob.png

DEF ist Deckfläche des Prismas. G liegt auf EB 2 von B entfernt und 1 von E entfernt. Bestimme das Maß der Fläche des Dreiecks AGF ohne digitales Werkzeug.

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Ich spendiere dazu noch ein Geoknecht3D-Script ;-)

blob.png

(drauf klicken!)

Ziemlicher Aufwand gegenüber:

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Flächenberechnung über das Kreuzprodukt der analytischen Geometrie

AF = [0, 4, 3]

AG = [√21, 2, 2]

AF x AG = [0, 4, 3] ⨯ [√21, 2, 2] = [2, 3·√21, - 4·√21]

A = 1/2·|AF x AG| = 1/2·|[2, 3·√21, - 4·√21]| = 23/2 = 11.5

Skizze

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Die Grundfläche ABC hat den Inhalt 2\( \sqrt{21} \).

Der Abstand von C zu AB ist somit 0,8\( \sqrt{21} \).

Mit A(0|0|0), G(0|5|2) und F( - 0,8\( \sqrt{21}\)|1,6|3) kann man die Fläche über das Vektorprodukt berechnen. Ich habe auf einem Schmierzettel 0,5\( \sqrt{529} \) erhalten.

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 0,5\( \sqrt{529} \) ist richtig. Wurde wirklich kein digitales Werkzeug eingesetzt? Anerkennung, immerhin ein Ergebnis bei 31 Aufrufen. Die Forderung "ohne digitales Werkzeug" weist auf einen recht elementaren Weg hin.

Man kann natürlich auch direkt die Seitenlängen mit \( \sqrt{20} \), \( \sqrt{26} \), und \( \sqrt{29} \) bestimmen und Heron verwenden.

Besser: Ordne die Eckpunkte der gesuchten Fläche auf dem Rand eines 5×5-Quadrates an.

Ordne die Eckpunkte der gesuchten Fläche auf dem Rand eines 5×5-Quadrates an.

Das interessiert mich. Ich habe es versucht, aber nicht hinbekommen.

Das ist ein Kommentar!

Das interessiert mich. Ich habe es versucht, aber nicht hinbekommen.

Es ist von Vorteil ein 25x25-Quadrat draus zu machen, dann haben wir nur noch natürliche Zahlen zu betrachten

blob.png

Die rechte rote Strecke ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Längen der Katheten von \(5\cdot 5 \times 5\cdot 2\). Und entspricht damit der Strecke \(AG\) im Bild. Die linke gelbe Strecke ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen \(5\cdot 5 \times 5 \cdot 1\); und entspricht damit der Strecke \(FG\) im Bild oben.

Und nun nutzt man hier aus, dass$$\begin{aligned} 5^2(5^2 + 2^2)&= 23^2 + 14^2 \\ 5^2(5^2 + 1^2) &= 23^2 + 11^2\end{aligned}$$\((14+11)/5 = 5\) ist die Länge der Strecke \(AF\) und \(23/5\) ist die Höhe \(h_G\). Daraus folgt dann der Flächeninhalt von \(\triangle AFG\)$$F_{AFG} = \frac 12 \cdot 5 \cdot \frac{23}{5} = 11,5$$

@Werner

Mit GeoGebra sah das bei mir auch so aus. Wie man im Kopf aber auf die Zerlegung mit 23^2 kommen soll, sodass die Summe der anderen beiden Zahlen 14 und 11 zufällig 25 ergibt, erschließt sich mir nicht.

Mit GeoGebra sah das bei mir auch so aus.

Na ja - wenn Du es mit Geogebra gemacht hast, bist Du doch auch auf die Koordinate von \(G=(2,2|\, 4,6)\) gestoßen. Macht es Dich nicht stutzig, wenn da nur rationale Zahlen raus kommen - mich schon!

Ich war allerdings mit der Aufgabe ganz woanders unterwegs ... erst mit dem Tipp von Roland war das dann klar. Eigentlich schade - der Tipp kam zu früh.

Interessant sind nur die Aufgaben, die ich nicht auf Anhieb lösen kann ;-)

Vielleicht meinte R. folgende Standard-Methode :

dreieck.png

Die Seitenlängen dieses Dreiecks sind nach Pythagoras genau die aus der Aufgabe und sein Flächeninhalt ist 5^2 - 2*5/2 - 5*1/2 - 4*3/2  =  23/2

Noch besser!

Auch ich hatte das im Sinn, was hj2166 dargestellt hat.

(Mit dieser Darstellung ist übrigens ein Minimalist weit über seine selbstgewählten Grenzen gegangen. Ich ziehe den Hut.)

Ein anderes Problem?

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