Bestimme das Maß der Fläche des Dreiecks AGF ohne digitales Werkzeug.

Question

ABC ist gleichschenkeliges Dreieck mit der Schenkellänge 5 und der Basis 4. ABC ist außerdem Grundfläche einer geraden Prismas (siehe Abbildung):

DEF ist Deckfläche des Prismas. G liegt auf EB 2 von B entfernt und 1 von E entfernt. Bestimme das Maß der Fläche des Dreiecks AGF ohne digitales Werkzeug.

Comments

Ich spendiere dazu noch ein Geoknecht3D-Script ;-)

(drauf klicken!)

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Ziemlicher Aufwand gegenüber:

Answer 1

Flächenberechnung über das Kreuzprodukt der analytischen Geometrie

AF = [0, 4, 3]

AG = [√21, 2, 2]

AF x AG = [0, 4, 3] ⨯ [√21, 2, 2] = [2, 3·√21, - 4·√21]

A = 1/2·|AF x AG| = 1/2·|[2, 3·√21, - 4·√21]| = 23/2 = 11.5

Skizze

Answer 2

Die Grundfläche ABC hat den Inhalt 2\( \sqrt{21} \).

Der Abstand von C zu AB ist somit 0,8\( \sqrt{21} \).

Mit A(0|0|0), G(0|5|2) und F( - 0,8\( \sqrt{21}\)|1,6|3) kann man die Fläche über das Vektorprodukt berechnen. Ich habe auf einem Schmierzettel 0,5\( \sqrt{529} \) erhalten.

Comments

 0,5\( \sqrt{529} \) ist richtig. Wurde wirklich kein digitales Werkzeug eingesetzt? Anerkennung, immerhin ein Ergebnis bei 31 Aufrufen. Die Forderung "ohne digitales Werkzeug" weist auf einen recht elementaren Weg hin.

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Man kann natürlich auch direkt die Seitenlängen mit \( \sqrt{20} \), \( \sqrt{26} \), und \( \sqrt{29} \) bestimmen und Heron verwenden.

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Besser: Ordne die Eckpunkte der gesuchten Fläche auf dem Rand eines 5×5-Quadrates an.

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Ordne die Eckpunkte der gesuchten Fläche auf dem Rand eines 5×5-Quadrates an.

Das interessiert mich. Ich habe es versucht, aber nicht hinbekommen.

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Das ist ein Kommentar!

Das interessiert mich. Ich habe es versucht, aber nicht hinbekommen.

Es ist von Vorteil ein 25x25-Quadrat draus zu machen, dann haben wir nur noch natürliche Zahlen zu betrachten

Die rechte rote Strecke ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Längen der Katheten von \(5\cdot 5 \times 5\cdot 2\). Und entspricht damit der Strecke \(AG\) im Bild. Die linke gelbe Strecke ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen \(5\cdot 5 \times 5 \cdot 1\); und entspricht damit der Strecke \(FG\) im Bild oben.

Und nun nutzt man hier aus, dass$$\begin{aligned} 5^2(5^2 + 2^2)&= 23^2 + 14^2 \\ 5^2(5^2 + 1^2) &= 23^2 + 11^2\end{aligned}$$\((14+11)/5 = 5\) ist die Länge der Strecke \(AF\) und \(23/5\) ist die Höhe \(h_G\). Daraus folgt dann der Flächeninhalt von \(\triangle AFG\)$$F_{AFG} = \frac 12 \cdot 5 \cdot \frac{23}{5} = 11,5$$

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@Werner

Mit GeoGebra sah das bei mir auch so aus. Wie man im Kopf aber auf die Zerlegung mit 23^2 kommen soll, sodass die Summe der anderen beiden Zahlen 14 und 11 zufällig 25 ergibt, erschließt sich mir nicht.

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Mit GeoGebra sah das bei mir auch so aus.

Na ja - wenn Du es mit Geogebra gemacht hast, bist Du doch auch auf die Koordinate von \(G=(2,2|\, 4,6)\) gestoßen. Macht es Dich nicht stutzig, wenn da nur rationale Zahlen raus kommen - mich schon!

Ich war allerdings mit der Aufgabe ganz woanders unterwegs ... erst mit dem Tipp von Roland war das dann klar. Eigentlich schade - der Tipp kam zu früh.

Interessant sind nur die Aufgaben, die ich nicht auf Anhieb lösen kann ;-)

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Vielleicht meinte R. folgende Standard-Methode :

Die Seitenlängen dieses Dreiecks sind nach Pythagoras genau die aus der Aufgabe und sein Flächeninhalt ist 5^2 - 2*5/2 - 5*1/2 - 4*3/2  =  23/2

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Noch besser!

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Auch ich hatte das im Sinn, was hj2166 dargestellt hat.

(Mit dieser Darstellung ist übrigens ein Minimalist weit über seine selbstgewählten Grenzen gegangen. Ich ziehe den Hut.)