Bestimme die Menge reeller Lösungen ohne digitales Werkzeug.

Question

Bestimme die Menge reeller Lösungen für $\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}$ - $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$ = 1 geschickt ohne digitales Werkzeug.

Comments

Heißt geschickt: ohne zu quadrieren?

Schade, dass die Lösung nicht ganzzahlig ist, sonst hätte man sie vlt. "sehen" = ein wenig probieren finden können.

Mit Technik: x = 65/16

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@simple mind:
Hast du mal die Probe gemacht?

Schau mal hier.

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Ich versuche mal laienhaft etwas:

x muss > 4 sein.

Der Minuend steigt stärker als der Subtrahend.

Bereits bei x = 4 ist die linke Seite der Gleichung > 1.

Also leere Lösungsmenge.

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Hast du mal die Probe gemacht?

Danke, ich hatte einen Fehler beim Eintippen:

https://www.wolframalpha.com/input?i=%28%28x-4*%28x-4%29%5E0.5%29%29…

Answer 1

Da der Ausdruck auf der linken Seite sowieso erst für $x\geq 4$ definiert ist, hab ich mal gesetzt:
$x=4+t$ mit $t\geq 0$

Das ergibt:

$\sqrt{4+t + 4\sqrt t}- \sqrt{4+t - 2\sqrt{t+3}} =1 \quad (1)$

Jetzt hab ich nicht schlecht geguckt, denn wir haben nun zwei vollständige Quadrate:
$(2+\sqrt t)^2 = 4+t+4\sqrt t$

$(\sqrt{t+3}-1)^2 = 4+t-2\sqrt{t+3}$

Damit erhalten wir für (1):

$2+\sqrt t - (\sqrt{t+3} - 1) = 1 \Leftrightarrow \sqrt{t+3} - \sqrt t = 2$

Nun gilt aber:

$\sqrt{t+3} - \sqrt t = \frac 3{\sqrt t + \sqrt{t+3}} \leq \frac 3{\sqrt 3} < 2$

Also gibt es keine reelle Lösung.

Comments

Sehr schöne Lösung.