Question

Berechne geschickt (und ohne digitales Werkzeug) die Endziffer von \( \sum\limits_{n=1}^{9}{n^5} \).

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Es ist \(n^5-n=n{\cdot}(n^4-1)=n{\cdot}(n^2-1){\cdot}(n^2+1)=n{\cdot}(n-1){\cdot}(n+1){\cdot}(n^2+1)\).
Für alle natürlichen \(n\) sind diese Zahlen offenbar durch \(2\), sowie durch \(5\) teilbar,
d.h. es ist \(n^5\equiv n\bmod10\) und damit
\(\displaystyle\sum_{n=1}^9n^5\equiv\sum_{n=1}^9n\equiv(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5\equiv5\bmod 10\).

Answer 1

Endziffern der Potenzen:

1 1 1 1 1

2 4 8 6 2

3 9 7 1 3

4 6 4 6 4

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

7 9 3 1 7

8 4 2 6 8

9 1 9 1 9

Summe: \( \frac{9 \cdot 10}{2}=45 \)

Endziffer: 5

Answer 2

\(\displaystyle \sum_{n=1}^9n^5 = 5^5 + \underbrace{\sum_{k=1}^4 ((5-k)^5 + (5+k)^5)}_{=10\cdot m}\Rightarrow \) Endziffer 5