Berechne geschickt (und ohne digitales Werkzeug) die Endziffer von ∑n=19n5 \sum\limits_{n=1}^{9}{n^5} n=1∑9n5.
Es ist n5−n=n⋅(n4−1)=n⋅(n2−1)⋅(n2+1)=n⋅(n−1)⋅(n+1)⋅(n2+1)n^5-n=n{\cdot}(n^4-1)=n{\cdot}(n^2-1){\cdot}(n^2+1)=n{\cdot}(n-1){\cdot}(n+1){\cdot}(n^2+1)n5−n=n⋅(n4−1)=n⋅(n2−1)⋅(n2+1)=n⋅(n−1)⋅(n+1)⋅(n2+1).Für alle natürlichen nnn sind diese Zahlen offenbar durch 222, sowie durch 555 teilbar,d.h. es ist n5≡n mod 10n^5\equiv n\bmod10n5≡nmod10 und damit∑n=19n5≡∑n=19n≡(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5≡5 mod 10\displaystyle\sum_{n=1}^9n^5\equiv\sum_{n=1}^9n\equiv(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5\equiv5\bmod 10n=1∑9n5≡n=1∑9n≡(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5≡5mod10.
Endziffern der Potenzen:
1 1 1 1 1
2 4 8 6 2
3 9 7 1 3
4 6 4 6 4
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
7 9 3 1 7
8 4 2 6 8
9 1 9 1 9
Summe: 9⋅102=45 \frac{9 \cdot 10}{2}=45 29⋅10=45
Endziffer: 5
∑n=19n5=55+∑k=14((5−k)5+(5+k)5)⏟=10⋅m⇒\displaystyle \sum_{n=1}^9n^5 = 5^5 + \underbrace{\sum_{k=1}^4 ((5-k)^5 + (5+k)^5)}_{=10\cdot m}\Rightarrow n=1∑9n5=55+=10⋅mk=1∑4((5−k)5+(5+k)5)⇒ Endziffer 5
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