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Berechne geschickt (und ohne digitales Werkzeug) die Endziffer von n=19n5 \sum\limits_{n=1}^{9}{n^5} .

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Es ist n5n=n(n41)=n(n21)(n2+1)=n(n1)(n+1)(n2+1)n^5-n=n{\cdot}(n^4-1)=n{\cdot}(n^2-1){\cdot}(n^2+1)=n{\cdot}(n-1){\cdot}(n+1){\cdot}(n^2+1).
Für alle natürlichen nn sind diese Zahlen offenbar durch 22, sowie durch 55 teilbar,
d.h. es ist n5nmod10n^5\equiv n\bmod10 und damit
n=19n5n=19n(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+55mod10\displaystyle\sum_{n=1}^9n^5\equiv\sum_{n=1}^9n\equiv(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5\equiv5\bmod 10.

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Endziffern der Potenzen:

1 1 1 1 1

2 4 8 6 2

3 9 7 1 3

4 6 4 6 4

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

7 9 3 1 7

8 4 2 6 8

9 1 9 1 9

Summe: 9102=45 \frac{9 \cdot 10}{2}=45

Endziffer: 5

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n=19n5=55+k=14((5k)5+(5+k)5)=10m\displaystyle \sum_{n=1}^9n^5 = 5^5 + \underbrace{\sum_{k=1}^4 ((5-k)^5 + (5+k)^5)}_{=10\cdot m}\Rightarrow Endziffer 5

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