Wie berechne ich Doppelsummen? Σ_(i=2 bis 4) Σ_(j=1 bis 4) für (i - 1)·3^j

Question

Wie man Summen berechnet, habe ich verstanden, allerdings bin ich beim Rechnen von Doppelsummen noch unsicher wie ich vorgehen muss.

Das ist die Aufgabe:

$$ \sum _ { i = 2 } ^ { 4 } \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } ( i - 1 ) 3 ^ { j } $$

Würde der Rechenweg so aussehen?

$$ ( 2 - 1 ) 3 ^ { 1 } + ( 3 - 1 ) 3 ^ { 2 } + ( 4 - 1 ) 3 ^ { 3 } + ( \color{#F00}{?} - 1 ) 3 ^ { 4 } $$

Kann jemand den Rechenweg bei Doppelsummen erklären.

Answer 1

Bei der Doppelsumme musst du die den Wert für die erste Variable i einsetzen und "festhalten" und damit dann die Summe II ablaufen.

Also i=2 einsetzen, dann laufen von j=1 bis j=4. Bei (i -1)*3^j ergibt sich für die Doppelsumme:

= (2 -1)*3¹ + (2 -1)*3² + (2 -1)*3³ + (2 -1)*3⁴
+ (3 -1)*3¹ + (3 -1)*3² + (3 -1)*3³ + (3 -1)*3⁴
+ (4 -1)*3¹ + (4 -1)*3² + (4 -1)*3³ + (4 -1)*3⁴

Dann natürlich noch den Gesamtwert ausrechnen, also = 720.

Hilfreiches Video:

Und Artikel über Summen und Doppelsummen lesen: https://www.matheretter.de/wiki/summe-summenzeichen

Answer 2

Vereinfachend kann man die Summe auch trennen:

\( \sum\limits_{i=2}^{4}{} \) \( \sum\limits_{i=2}^{4}{(i-1)3^j} \)  =  \( \sum\limits_{i=2}^{4}{(i-1)} \)  *  \( \sum\limits_{j=1}^{4}{3^j} \)

= ((2-1)+(3-1)+(4-1)) * (3^1+3^2+3^3+3^4)

= (1+2+3)*(3+9+27+81)

= 6*120

= 720

Auf Grund der Distributivität darf man das machen.