Aufgabe:
(i) Finden Sie eine Funktion \( a: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C},(n, m) \mapsto a_{n, m}, \) so dass
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum \limits_{m=1}^{\infty} a_{n, m}\right) \neq \sum \limits_{m=1}^{\infty}\left(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n, m}\right) \)
wo aber beide Doppelsummen konvergieren. Ist die Summe \( \sum \limits_{\mathbb{N} \times \mathbb{N}}\left|a_{n, m}\right| \) konvergent? Ist \( a \) über \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) absolut summierbar?
(ii) Finden Sie nun eine Funktion \( a: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}, \) so dass
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum \limits_{m=1}^{\infty} a_{n, m}\right)=0=\sum \limits_{m=1}^{\infty}\left(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n, m}\right) \)
so dass \( \sum \limits_{N \times \mathbb{N}} a_{n, m} \) nicht unbedingt konvergent ist.
(iii) Sei \( S \) der Wert der konvergenten Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} . \) Zeigen Sie:
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{3}{4} S \text { und } \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)^{2}}=\frac{1}{4} S \)
Problem/Ansatz:
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Ich habe bei dieser Aufgabe Probleme...ich habe auch leider keinen Ansatz. Bei (iii) habe ich die Lösung für die zweite Teilaufgabe schon herausgefunden, aber der ganze Rest fehlt mir. Könnte mir da jemand weiterhelfen?
LG Angelika
