Funktion 3. Grades bestimmen mit einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt

Question

Aufgabe:

Der Aufsprunghang bildet für x ≥ 0 eine Funktion g(x) 3. Grades, beginnt waagerecht im Punkt B (0|130) und hat einen Tiefpunkt bei T (260|0), bevor er im Auslauf wieder ansteigt.

(Alle Angaben in m)

Problem/Ansatz:

Ermittle einen Funktionsterm g(x) 3. Grades, der den Verlauf des Aufsprunghanges beschreibt.

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

bei dieser Aufgabe kommt es u.U. auch darauf an, den Ansatz geschickt zu wählen. Bei dieser kubischen Funktion sind die beiden Extrempunkte \(B(0|\,130)\) und \(T(260|\,0)\) gegeben. Kubische Funktionen sind punktsymmetrisch bezüglich ihres Wendepunktes \(W\), der liegt also genau in der Mitte zwischen \(B\) und \(T\) und ist daher \(W(130|\, 65)\).

Der Ansatz für \(g(x)\) und die Ableitung lauten daher$$g(x)=a(x-130)^3 + b(x-130) + 65 \\ g'(x) = 3a(x-130)^2 + b $$Im Punkt \(B\) ist der Funktionswert \(g(0)=130\) und die Ableitung \(g'(0)=0\) bekannt:$$\begin{aligned} g(0) = 130 &\implies -130 a \cdot 130^2 - 130 b + 65 = 130 \\ g'(0) = 0 &\implies 3a \cdot 130^2 + b = 0 \end{aligned}$$die erste Gleichung dividiere ich durch \(130\) und addiere beide Gleichungen, so dass das \(b\) heraus fällt$$\begin{aligned} - a \cdot 130^2 - b + \frac 12 &= 1 \\ 3a \cdot 130^2 + b &= 0 \\ \implies 2a \cdot 130^2 + \frac 12 &= 1 \implies a = \frac 1{4 \cdot 130^2}\end{aligned}$$Diesen Wert setzt man in die zweite Gleichung ein und erhält \(b=-3/4\).

Wie Du siehst habe ich bisher noch nichts gemacht, wozu man einen Taschenrechner bräuchte. Der Plot zeigt aber bereits ...

~plot~ (x-130)^3/(4*130^2)-(3/4)*(x-130)+65;[[-10|300|-40|200]] ~plot~

... dass das Ergebnis korrekt ist. Ich überlasse es Dir das auszumultiplizieren.

Gruß Werner

Answer 2

Hallo,

eine Funktion dritten Grades kann man so darstellen:

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\f'()=3ax^2+2bx+c\\f''(x)=6ax+2b\)

beginnt waagerecht im Punkt B (0|130)

Hieraus kannst du zwei Bedingungen ableiten \( f(0)=130\text{ und }f'(0)=0\)

hat einen Tiefpunkt bei T (260|0),

und hieraus die nächsten beiden \(f(260)=0\text{ und }f'(260)=0\)

Melde dich bitte, falls du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Bei mir würde am Ende 17778800 + 68120 + 130= 0 da stehen und wenn das so richtig wäre, wüsste ich nicht wie ich ab da weitermachen soll. Also ich verstehe den Rechenweg auch nicht wirklich. Also es wäre hilfreich wenn sie die Rechnung ausrechnen würden, da ich die Funktionsgleichung für die folgenden Aufgeben benötige.

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Wo sind denn a und b geblieben?

$$f(0) = 130\Rightarrow d = 130\\f'(0)=0 \Rightarrow c = 0\\ f(260)=0 \Rightarrow 17.576.000a +67.600b+130=0\\ f'(260)=0\Rightarrow 202.800a + 520b = 0$$

Jetzt musst du nur noch aus den letzten beiden Gleichungen a und b berechnen.

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Für die berechnung von a und b muss ich beide Gleichungen addieren, richtig?

Das wäre dann 1778800 a + 67600 b + 130 = 0.

Man muss ja 0 : a und 0 : b machen oder, aber wenn ich jetzt durch a und b durch 0 dividiere ist das Ergebnis 0. Also wie wäre der Rechenschritt richtig?

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Bevor du die Gleichungen addierst, solltest du eine der beiden dahingehend verändern, dass a oder b wegfällt.

Multipliziere z.B. die 2. Gleichung mit  \(- \frac{260}{3} \)

$$17.576.000a +67.600b=-130\\ -17.576.000a - \frac{135200}{3}b = 0\\[20pt] \frac{67600}{3}b=-130\\b=-\frac{3}{520}$$

Schau dir aber auch mal die Lösung von Werner-Salomon an!

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Ok, wie sieht dann die Funktionsgleichung aus, genau so wie bei Werner Salomon?

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Werner hat eine anderen Ansatz für seine Funktion und somit auch eine andere Schreibweise gewählt:

Werner:

\(g(x)=\frac{(x-130)^3}{4\cdot130^2}-\frac{3}{4}(x-130)+65\)

Silvia:

\(f(x)=\frac{1}{67.600}x^3-\frac{3}{520}x^2+130\)

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Ok vielen Dank, jetzt laufen die Aufgaben wie am Schnürchen.

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Das freut mich.

Answer 3

Hallo

 1. allgemeine Funktion 3. grades hinschreiben:f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

also 4 Unbekannte, du brauchst 4 Gleichungen .

Was du weisst: 2 Funktionswerte  bei x=0 und x=260 gibt 2 Gleichungen f(0)=130 und f(260)=0

2. du weisst f'(x)=0 bei x=0 und x=260, also f' bestimmen und einsetzen. damit hast du die 4 gesuchten Gleichungen .

Gruß lul

Answer 4

1.)Tiefpunkt (260|0) Hier ist eine waagerechte Tangente → doppelte Nullstelle.

2.)waagerecht im Punkt B (0|130) → Hochpunkt

Nullstellenform der kubischen Parabel:

f(x)=a*(x-N_1)*(x-N_2)*(x-N_3)

f(x)=a*(x-260)^2*(x-N)

B (0|130)

f(0)=a*(0-260)^2*(0-N)

A.)  260^2*a*(-N_3)=130|:130

260^2*a*(-N)=130|:130

-520*a*N=1→a =  - \( \frac{1}{520N} \)

f(x)= - \( \frac{1}{520N} \)•[(x-260)^2*(x-N)]

waagerechte Tangente im Hochpunkt B (0|130)

f´(x)=- \( \frac{1}{520N} \)•[2*(x-260)*(x-N)+(x-260)^2]

f´(0)=- \( \frac{1}{520N} \)•[2*(0-260)*(0-N)+(0-260)^2]

- \( \frac{1}{520N} \)•[2*(0-260)*(0-N)+(0-260)^2]=130

Mit Wolfram :

N=-270400/2081≈-129,9

a ≈ 2081/140608000

a ≈ \( \frac{2081}{140608000} \)

f(x)=\( \frac{2081}{140608000} \) •(x-260)^2*(x+270400/2081)

mfG

Moliets

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{2060000}{140060600}(x-260)^{2}\left(x+\frac{270000}{2001}\right) \)
\( -(0,130) \)

ets