Durch partielle Integration Rekursionsformel herleiten

Question

Leiten Sie für

A_n(t) := Integral(von 0 bis t) sⁿe^s ds mit t ∈ ℝ, t > 0

durch partielle Integration Rekursionsformeln her, die A_n(t) mit n ∈ ℕ durch A_n-1(t) ausdrücken. Berechnen Sie damit die unbestimmten Integrale A₀(t), A₁(t), A₂(t) und A₃(t)

Answer 1

Wir haben folgendes: $$A_n(t)=\int_0^ts^ne^sds \\ =\int_0^ts^n\left(e^s\right)'ds \\ =\left [s^ne^s\right ]_0^t-\int_0^t\left(s^n\right)'e^sds \\ =\left [t^ne^t-0^ne^0\right ]-\int_0^t ns^{n-1}e^sds \\ =t^ne^t-n\int_0^t s^{n-1}e^sds \\ =t^ne^t-nA_{n-1}(t)$$ 
Das A₀ berechnen wir mit der Definition $$A_0(t)=\int_0^ts^0e^sds=\int_0^te^sds=\left [e^s\right ]_0^t=e^t-e^0=e^t-1$$ Die restilchen Glieder berechnen wir mit der rekursiven Definition: $$A_1(t)=t^1e^t-1\cdot A_0(t)=te^t-\left(e^t-1\right)=te^t-e^t+1$$ $$A_2(t)=t^2e^t-2A_1(t)=t^2e^t-2\left(te^t-e^t+1\right)=t^2e^t-2te^t+2e^t-2$$ $$A_3(t)=t^3e^t-3A_2(t)=t^3e^t-3\left(t^2e^t-2te^t+2e^t-2\right) \\ =t^3e^t-3t^2e^t+6te^t-6e^t+6$$