Rekursionsformel ableiten eines unestimmten Integrals

Question

Hallo Community,

ich habe bei der folgenden Aufgabe Schwierigkeiten den ersten Schritt zu machen. Das Prinzip ist mir klar und mit anderen Aufgaben war es sehr einfach nur bei der Aufgabe fehlen mir jegliche Ansätze und ich stoße langsam auf meine Grenzen:

Leiten Sie Rekursionsformeln der Gestalt \( a_{n} I_{n+2}(x)=f_{n}(x)+b_{n} I_{n}(x), \quad n \in \mathbb{N}_{0} \)
für den folgenden unbestimmten Integral her:
\( I_{n}(x)=\int\left(1-x^{2}\right)^{\frac{n-1}{2}} d x \quad(|x|<1) \)
Geben Sie auch Stammfunktionen für spezielle Werte von \( n \) an, die es im Prinzip erlauben, mit Hilfe der Rekursionsformel \( I_{n}(x) \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) zu berechnen.

Hinweis: Partielle Integration führt zum Ziel

Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen. Und es wäre schön wenn es nicht zu viel Zeit für euch in Anspruch nimmt, bisschen zu erläutern damit ich eine ähnliche Aufgabe dann alleine machen kann ^^

Vielen Dank im Voraus ^^

Lieben Gruß,

Knax

Answer 1

Aloha :)

$$I_{n+2}(x)=\int\left(1-x^2\right)^\frac{n+1}{2}dx=\int\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\left(1-x^2\right)^\frac{n+1}{2}}_{=v}dx$$$$=\underbrace{x}_{=u}\underbrace{\left(1-x^2\right)^\frac{n+1}{2}}_{=v}-\int \underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{n+1}{2}\left(1-x^2\right)^\frac{n-1}{2}(-2x)}_{=v'}\,dx$$$$=x\left(1-x^2\right)^\frac{n+1}{2}-(n+1)\int \left(1-x^2\right)^\frac{n-1}{2}(-x^2)\,dx$$$$=x\left(1-x^2\right)^\frac{n+1}{2}-(n+1)\left[\int \left(1-x^2\right)^\frac{n-1}{2}(1-x^2)\,dx-\int \left(1-x^2\right)^\frac{n-1}{2}\,dx\right]$$$$=x\left(1-x^2\right)^\frac{n+1}{2}-(n+1)\left[\underbrace{\int \left(1-x^2\right)^\frac{n+1}{2}\,dx}_{=I_{n+2}(x)}-\underbrace{\int \left(1-x^2\right)^\frac{n-1}{2}\,dx}_{=I_n(x)}\right]$$$$=x\left(1-x^2\right)^\frac{n+1}{2}-(n+1)I_{n+2}(x)+(n+1)I_n(x)$$Jetzt noch alle \(I_{n+2}(x)\) nach links bringen und wir sind fertig:$$\underbrace{(n+2)}_{=a_n}\,I_{n+2}(x)=\underbrace{x\left(1-x^2\right)^\frac{n+1}{2}}_{=f_n(x)}+\underbrace{(n+1)}_{=b_n}\,I_n(x)$$

Comments

Wie oft hast du mir schon geholfen! Ich küss doch dein Herz! ^^ Ich würde dir gerne nen Daumen nach oben geben, habe aber wie es aussieht paar Updates verpasst weswegen ich nicht weiß warum ich keine Berechtigung dazu habe xD Aber vielen Dank. Das ist auch ziemlich selbsterklärend habe einfach gar nicht daran gedacht 1 auch als potenziellen Teil zu nehmen *facepalm*: Hatte bisjetzt nur mir die trigo Funktionen angeschaut und dort jeweils ein sin beispielsweise rangezogen. Naja wie dem auch sei vielen Dank nochmal ^^ Bleib weiterhin gesund und schönes Wochenende!

Lieben Gruß,

Knax

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Danke dir!! So ein Feedback ist natürlich super und sehr motivierend ;)

Das Daumen-hoch-Problem habe ich jetzt schon von mehreren Leuten gehört. Anscheinend dürfen nicht mehr alle Mitglieder einen Daumen-hoch vergeben. Bei mir geht es noch. Keine Ahnung, ob das ein Bug ist oder ob das gewollt ist...