Mathematik - Wachstumsberechnung

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten. Können Sie mir bitte helfen, die Teilaufgaben zu lösen. Ich habe zwar meist einen Ansatz, verstehe jedoch nicht, wie ich die Aufgabe wirklich lösen kann beziehungsweise worin vielleicht auch mein Fehler liegt. Könntet ihr dahingehend bitte meine Versuche kontrollieren und gegebenenfalls korrigieren?

Durch die Funktion f(t) = 0,02t² ∙ e^-0,1t wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit (gemessen in Jahren) beschrieben. Dabei gibt f(t) nicht die Höhe, sondern die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr (zum Zeitpunkt t) an. Zum Beobachtungsbeginn = 0 ist die Fichte 20 cm hoch.

a) Begründe anhand von Ableitungsregeln, dass du nicht ohne weiteres fähig bist, eine Stammfunktion von f(t) zu bestimmen.

→ ? - mir fehlt hier der Ansatz komplett, ich weiß zwar, dass die Ableitung von f(x) gleich der Stammfunktion ist, jedoch verstehe ich nicht einmal, was die Aufgabe wirklich erfordert beziehungsweise als Ergebnis voraussieht (Nachweis einer Stammfunktion wäre zumindest - F(x) = f'(x))

b) Begründen Sie, warum G(t) = (−0,2t² - 4t - 40) * e^-0,1t NICHT die Höhe der Fichte zum Zeitpunkt t angibt und geben Sie eine Funktion F(t) an, die die Höhe der Fichte zum Zeitpunkt t angibt.

→ bezüglich G(t) hätte ich argumentiert, dass es sich hierbei um eine Ableitung der Ausgangsfunktion handelt; folglich würde hierbei nicht die Höhe gezeigt werden, sondern die Beschleuning

→ für F(t) hätte ich folgende Funktion - 0,002t² * e^-0,1t (und könnte man diese in der Folge nicht für das Integral nutzen, um bspw. die Höhe zu berechnen?)

c) Erkläre die Bedeutung der Wendepunkte 1(5,9|0,3) und 2((34,1|0,77) und der Gleichungen f'(5,9) = 0,09 und f'(34,1) = −0,03.

→ bezüglich der Wendepunkte bin ich mir unsicher, ich hätte jetzt damit argumentiert, dass zu diesem Zeitpunkt stets Wechsel erfolgten (auf dem Graphen sieht es zumindest so aus, als würde die Wachstumsgeschwindigkeit ab dem x-Wert von 5,9 vorerst abnehmen)

→ die jeweiligen f'(x)-Werte geben die Beschleunigung am jeweiligen Punkt an; ab bspw. 34,1 ''schrumpft'' der Baum?

Vielen Dank. Ich hoffe, dass meine Ansätze annähernd logisch bzw. verständlich sind.

Comments

Ist die Funktion () = 0.02 ^2 * e^(-0,1*t)
so korrekt.
Es ist unüblich 0.02 ^2 zu schreiben.
0,0004 wäre üblicher

Zudem ist e^(-0,1*t) keine Wachstumsfunktion sondern
aufgrund des negativen Exponenten
würde eine Schrumpfung stattfinden.

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Lautet die Funktion \(f(t)=0,02t^2\cdot e^{-0,1t}\)

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Das mit der Schrumpfung muß ich zurück-
nehmen. Dies ist ja die Ableitungsfunktion.
Es heißt dann nur das sich das Wachstum
verlangsamt.

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Richtig, die Funktion lautet eigentlich f(t) = 0,02t² * e^-0,1t - tut mir Lied.

Mir ist dort leider ein kleiner Fehler unterlaufen, ich habe die Gleichung nämlich falsch eingegeben.

Answer 1

a) Begründe anhand von Ableitungsregeln, dass du nicht ohne weiteres fähig bist, eine Stammfunktion von f(t) zu bestimmen.

Das ist eine ziemlich dreiste Unterstellung.

Wahrscheinlich möchte der Lehrer hier so etwas wie "Produkte werden nicht abgeleitet indem die einzelnen Faktoren abgeleitet werden, also können sie auch nicht integriert werden indem die einzelnen Faktoren integriert werden".

folglich würde hierbei nicht die Höhe gezeigt werden, sondern die Beschleuning

Das eine schließt das andere nicht aus.

eine Funktion F(t) an, die die Höhe der Fichte zum Zeitpunkt t angibt.

        \(F(t) = 0{,}2 + \int\limits_0^t f(x)\mathrm{d}x\)

Das Integral kann man mit partieller Integration bestimmen.

für F(t) hätte ich folgende Funktion - 0,002t² * e^-0,1t

Setzte \(t=0\) ein. Laut Aufgabenstellung (\(20\,\mathrm{cm}\) Höhe zum Beobachtungsbeginn) muss \(0{,}2\) rauskommen.

Bestimme \(F'(t)\), Denke dabei an die Produktregel. Es müsste \(f(t)\) rauskommen.

f'(5,9) = 0,09 und f'(34,1) = −0,03.

An einem Wendepunkt steigt die Wachstumsgeschwindigkeit am stärksten, am anderen fällt sie am stärksten.

Comments

"Produkte werden nicht abgeleitet indem die einzelnen Faktoren abgeleitet werden, also können sie auch nicht integriert werden indem die einzelnen Faktoren integriert werden"

Könnten Sie dies bitte näher erklären? Ich kenne mich mit der Thematik nicht wirklich aus und verstehe den Inhalt nicht wirklich - inwiefern kann man in diesem Fall, zumindest nach der Ausgangsfunktion f(x), keine Ableitungsregeln anwenden?

Das eine schließt das andere nicht aus. Zeige stattdessen

        \(G'(t) \neq f(t)\)

Alles klar, das ist nachvollziehbar - ich habe mich dort vermutlich einfach verrechnet. Was zeigt denn dann G(t) aber theoretisch genau an, wenn es sich dabei nicht um die Höhe handelt?

\(F(t) = 0{,}2 + \int\limits_0^t f(x)\mathrm{d}x\)

Das Integral kann man mit partieller Integration bestimmen.

Wäre es hier ebenso möglich, dass Sie mir einmal bitte erklären könnten, inwiefern Sie auf 0,2 gekommen sind? Ich habe meine Berechnungen gerade nochmal kontrolliert und teilweise auch von vorne angefangen, jedoch komme ich jetzt stets auf 0,02.

Auf jeden Fall aber erstmal vielen Dank, hat mir in der Menge deutlich weiter gebracht; auch die kurze Erklärung zu den Wendepunkten war gut, das habe ich wieder komplett vergessen und außen vor gelassen.

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Schau mal nach, ob die Funktion in deiner Frage mit denen übereinstimmen, die du in deiner Aufgabenstellung stehen hast. In meiner Aufgabenstellung sehen die Funktionen anders aus.

Answer 2

Hier ist zunächst mal der Graph der Funktion und der Stammfunktion

~plot~ 0.02x^2exp(-0.1x);40.2-exp(-0.1x)(0.2x^2+4x+40);[[0|100|0|41]] ~plot~

a) Begründe anhand von Ableitungsregeln, dass du nicht ohne weiteres fähig bist, eine Stammfunktion von f(t) zu bestimmen.

Das hat oswald schon richtig gesagt. Produkte kann man nicht integrieren indem man jeden Faktor für sich integriert.

b) Begründen Sie, warum G(t) = (−0,2t2 - 4t - 40) * e-0,1t NICHT die Höhe der Fichte zum Zeitpunkt t angibt und geben Sie eine Funktion F(t) an, die die Höhe der Fichte zum Zeitpunkt t angibt.

G(0) ist nicht 0.2
Eine Stammfunktion habe ich oben in der Skizze angegeben. Es fehlte nur die korrekte Integrationskonstante C.

c) Erkläre die Bedeutung der Wendepunkte 1(5,9|0,3) und 2((34,1|0,77) und der Gleichungen f'(5,9) = 0,09 und f'(34,1) = −0,03.

Im Wendepunkt 1 nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit am schnellsten zu. Die Beschleunigung hat hier ein Maximum
Im Wendepunkt 2 nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit am schnellsten ab. Die Beschleunigung hat hier ihr Minimum.