Wie lautet die Termdarstellung der Funktion f?

Question

In Mathe bekam ich diese Aufgabe als Hausübung:

Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 geht durch den Punkt P=(0/1) und hat den Tiefpunkt T=(1/3,2/3). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f!

Es scheitert leider schon an den Bedingungen, also würde ich mich über eine Erklärung der ganzen Aufgabe sehr freuen.

Mit freundlichen Grüßen und

Answer 1

Hallo,

allgemeine Form eines Funktion 2. Grades und ihrer Ableitung:

\(f(x)=ax^2-bx+c\\f'(x)=2ax+b\)\\

geht durch den Punkt P=(0/1)

\(f(0)=1\Rightarrow c=1\\\)

Tiefpunkt T=(1/3,2/3).

\(f(\frac{1}{3})=\frac{2}{3}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{9}a+\frac{1}{3}b=-\frac{1}{3}\\\text{und}\\ f'(\frac{1}{3})=0\quad \Rightarrow \quad \frac{2}{3}a+b=0\)

Jetzt nur noch das Gleichungssystem lösen...

Gruß, Silvia

Comments

Vielen lieben Dank! Das hat mir wirklich sehr viel gebracht!

lg

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Danke, das freut mich.

Answer 2

Der Tiefpunkt bei einer Parabel ist auch der Scheitelpunkt. Mache den Ansatz über die Scheitelpunktform und setze den gegebenen Punkt ein.

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Ich muss es aber mit den Bedingungen lösen und der Begriff "Scheitelpunktform" sagt mit leider nichts.

lg

Answer 3

Hallo,

Termdarstellung ist glaube ich nicht gefragt.

y = a(x-1/3)² +2/3    Scheitelpunktform der Funktion zweiten Grades

p(0|1)    1 = a(0-1/3)² +2/3       a = 3

y= 3(x-1/3)² +2/3

~plot~ 3(x-(1/3))^2+(2/3) ~plot~

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Das ist aber genau die Aufgabenstellung aus dem Buch, die ich oben widergegeben habe, also ist die Termdarstellung gefragt.

lg

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\( y= 3\left(x-{1\over3}\right)^2+{2\over3} \) ist eine Termdarstellung. Und wenn sie Dir nicht gefällt, reche aus und fasse zusammen.

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Hallo, ist es als Zurdnungsdarstellung zu verstehen?

Dann stimmt das Ergebnis von oben.

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Ich bin leider gerade selber überfragt. Falls es etwas hilft: ich habe auch das Lösungsbuch und da steht als Lösung f(x)=3x^2-2x+1

lg

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Reche aus und fasse zusammen (das sagte ich bereits).

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Ich glaube Sie haben nicht verstanden, dass ich die Aufgabe nicht mit der Scheitelpunktform, sondern mit Hilfen von Bedingungen lösen soll, aber das hat sich jetzt sowieso erledigt, da die liebe Silivia mir schon den nötigen Ansatz gegeben hat. Trotzdem vielen Dank für die Hilfe!

lg

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Ich glaube, der Fehler liegt bei Dir selbst, weil Du nicht sagt, in welche Schule und Klasse Du gehst. Solche Aufgaben sind typisch für Realschüler, die wissen aber nichts von Ableitungen. Die andere Seite ist: Ein Schüler, der mit Ableitungen arbeitet, ist in der Oberstufe eines Gymnasiums. Aber Du weißt nicht, was eine Scheitelpunktform ist, die Du doch schon vor vielen Jahren gelernt hast (zumindest gelernt haben solltest)?

Answer 4

Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 geht durch den Punkt P=(0/1) und hat den Tiefpunkt T=(1/3,2/3). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f!

f ( x ) = a * x^2+ b * x + c
f ´( x ) = 2ax + b

f ( 0 ) = a * 0^2 + b * 0 + c = 1  => c = 1
f ( 1/3 ) = a*(1/3) ^2 +  b * 1/3 + 1 = 2/3
a * 1/9 + b * 1/3 = - 1/3
f ´( 1/3) = 2*a * 1/3 + b = 0
2*a * 1/3 + b = 0 => b = - 2/3 * a

a * 1/9 + b * 1/3 = - 1/3
a * 1/9 - 2a/3 * 1/3 = -1/3
a = 3

b = - 2/3 * a
b = -2

f ( x ) = 3 * x^2 - 2 * x + 1