Spektralradius/hinreichende Bedingung

Question

Ich hätte eine Frage bzgl des Jacobi Verfahrens (numerisches Lösen von Gleichungssystemen). Wenn man den Spektralradius der Koeffizientenmatrix betrachtet und dieser kleiner als 1 ist, dann konvergiert das Verfahren. Ist es nun so, dass das Verfahren divergiert, wenn der Radius größer als 1 oder liege ich hier falsch bzw. ist es hinreichend?

Answer 1

Erstmal: Was heißt "Koeffizientenmatrix"? Deine Aussage stimmt, aber nicht für die Koeffizientenmatrix des zu lösenden Systems. Sondern für die Iterationsmatrix im Jacobi-Verfahren (üblicherweise \(B:=D^{-1}(L+R)\)).

Und was heißt "Verfahren divergiert"? Auch wenn \(\sigma(B)>1\) ist, konvergiert das Verfahren, wenn der Startvektor Lösung des LGS ist. Aber nicht allgemein für jeden Startvektor.

Comments

Tut mir Leid, ich habe die Iterationsmatrix gemeint. Bzgl. Divergenz war es bezogen auf folgende Darstellung x_n+1 = (I-B^-1*A)*x_n + B^-1*b, wobei der Klammerausdruck die Iterationsmatrix ist

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Ok, zur Divergenz siehe oben. Dass es um die Iteration geht, war klar.

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Gibt es aber seltene Fälle, wo der Spektralradius größer als 1 ist und bei einem bestimmten Startwert dennoch es nach Konvergenz aussieht? Ich meine, wenn der Startvektor ein Eigenvektor ist.

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Nochmal: siehe oben, die letzten beiden Sätze.

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asooo ok, hab ich überlesen. Danke nochmal