Beispielfunktion mit Bedingung

Question

Ich sollte eine Funktion f finden, die stetig

ist und f: K -> R (R := Reele Zahlen, K beliebiges Intervall in R)

wobei aber K eine abgeschlossene Menge ist und f(K) offen ist.

Mein Beispiel:

Für K habe ich K = R genommen, da ja R offen und abgeschlossen ist, also ist R ja auch abgeschlossen.

Für das Bild f(K) ist dann das offene Intervall     (-π/2, π/2) die Menge.

Das ganze unter der Funktion f = arctan, da arctan definiert ist als:

arctan: R -> (-π/2, π/2) und auch stetig ist

Ist mein Beispiel korrekt?

Answer 1

Für K habe ich K = R genommen, da ja R offen und abgeschlossen ist, also ist R ja auch abgeschlossen.

Super Idee. jetzt brauchst du nur noch eine bijektive Abbildung zwischen dieden beiden Mengen.

Comments

Ist mein Beispiel korrekt?

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Ach so, ja, ich habe bei "Für das Bild f(K) ist dann das offene Intervall   (-π/2, π/2) die Menge." aufgehört zu lesen, weil das wirr formuliert ist, weil ich nicht weiß was du mit "die Menge" meinst.

Ich würde einfach sagen:

Sei \(K=\mathbb{R}\) und

        \(f:K\to\mathbb{R},\ x\mapsto \arctan x\).

Dann ist \(f\) stetig, \(K\) abgeschlossen und \(f(K) = \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) offen.

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Okay, also mein Beispiel funktioniert dann doch. Ist es denn aber schlimm, das mein Beispiel nicht die Wertemenge R hat, sondern nur eine Teilmenge in R abbildet?