Unitärer Vektorraum mit imaginärer Lösung

Question

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Für die Vektoren u und v aus dem unitären Vektorraum V soll gezeigt werden, dass

<u+v , u-v> rein imaginär ist.

Hierbei weiß man noch, dass ||u|| = ||v||.

Kann mit hier vielleicht jemand helfen? Ich weiß nicht so recht, wie ich ||u|| = ||v|| berücksichtigen kann..

Vielen Dank vorab!

Answer 1

< .. , ... > ist ja dann eine hermitesche Sesquilinearfom, also ist

< u+v , u-v > = < u,u > + <v,u> + <u,-v>  + <v,-v>

= < u,u > -   <v,v> + <v,u>  - <u,v>

Und wegen der gleichen Beträge von v und u ist   < u,u > -   <v,v> = 0

also geht es weiter mit

=  <v,u>  - <u,v> 

und <v,u> ist das Konjugierte von   < u,v >

Und wenn man diese voneinander subtrahiert,

fällt der Realteil weg.    q.e.d.