Beweis Mittelsenkrechte von AB geht durch C -> Dreieck gleichschenklig mit Spitze C

Question

Halli

ich muss beweisen, dass wenn bei einem Dreieck ABC die Mittelsenkrechte von AB durch den Punkt C geht das Dreieck gleichschenklig ist mit Spitze C. Anschaulich ist das auch alles klar, die Mittelsenkrechte geht ja durch C weil C genau so weit weg ist von A wie von B, da die Schenkel gleich lang sind. Und auf einer Mittelsenkrechten von A und B liegen alle Punkte die gleich weit weg von beiden Punkten sind...

Leider habe ich gerade keine Idee wie ich das beweisen soll. Davor sollte ich beweisen dass die Winkelhalbierende in einem Dreieck gleichzeitig die Höhe und Mittelsenkrechte ist, das habe ich mit der kongruenz der Dreiecke lösen können. Das kann ich hier aber nicht wirklich anwenden, oder ich weiß einfach nur nicht wie?

Vielleicht kann mir ja jemand einen Schubs in die richtige Richtung geben!

Comments

Ist das an sich nicht schon der Beweis?

Dass alle Punkte auf der Mittelsenkrechten den selben Abstand von A wie von B haben -> da C auf Mittelsenkrechte gilt AC=BC -> Schenkel sind gleich lang, Dreieck ist gleichschenklig?

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Ja, das ist der Beweis.

Answer 1

Man müsste eigentlich genau wissen, was man voraussetzen darf im Beweis.  

Die Mittelsenkrechte (Gerade oder Ebene) von AB (in der Ebene oder im Raum) ist die Menge aller Punkte, die von A und B den gleichen Abstand haben.

Nun liegt C auf  der Mittelsenkrechten.

Also hat C von A und von B den gleichen Abstand. q.e.d.

Comments

Sehr schön, dann habe ich mir das ja doch richtig gedacht,

War mir nicht ganz sicher ob das als Beweis ausreicht :-)

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Das reicht, wenn die Mittelsenkrechte als geometrischer Ort im beschriebenen Sinn bekannt ist.