Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil sowie alle Nullstellen der Funktion f(z) = 7*z - 4*j + 3/z

Question

Ich muss für die Funktion f(z) = 7*z - 4*j + 3/z den Real und Imaginärteil bestimmen weiß aber leider nicht wie ich vorgehen muss und finde leider auch nichts in Lehrbüchern sowie im Internet!

Lösung soll sein: Re(f(z)) = 7*x + 3*x/x^2 + y^2

                            Im(f(z) = 7*y - 4 + 3*y/x^2 + y^2

                            Nullstellen: z1 = j z2 = -3/7*j

Answer 1

Hi,

der "Trick" ist hier eigentlich nur z = x+iy zu schreiben. Dann geht der Rest von selbst:

7*z - 4*j + 3/z = 7(x+iy) - 4i + 3/(x+yi)   |Letzteres erweitern mit (x-yi)

= 7(x+iy) - 4i + 3(x-yi)/(x^2+y^2)

= 7x+7iy-4i + 3x/(x^2+y^2) - 3yi/(x^2+y^2)

Dann noch ordnen:
= 7x+3x/(x^2+y^2)    + (7y-4-3yi/(x^2+y^2))*i

Ersteres ist der Realteil, letzteres der Imaginärteil.

Für die Nullstellen:

7z-4i+3/z = 0    |*z, dann :7

z^2 - 4iz/7 + 3/7 = 0   |pq-Formel

z_(1) = i

z_(2) = -3/7*i

Grüße

Comments

Danke schonmal für die klasse Antwort! Eine Frage hätte ich noch: wie schaffst du es, dass die Nullstellen nach benutzen der pq-Formel nochmal zusammengefasst werden? Bei mir kommt nämlich z_1/2 = 2/7 ± j*√17/7 raus und ich weiß nicht wie ich das dann weiter zusammenfassen kann

Danke schon mal im Voraus!

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Hast Du bedacht, dass in der Wurzel (2i)^2 = -4.

Also √( ((2i)/7)^2 - 3/7)

;)