Vektor. Pyramide Koordinaten bestimmen

Question

Aufgabe:

A, B, C und D sind die Eckpunkte einer geraden quadratischen Pyramide. Die Spitze S befindet sich also über dem Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche. h ist die Höhe der Pyramide. Bestimme die Koordinaten von S und das Volumen der Pyramide. (zwei Lösungen für S)

a) \( A=(0|0| 0) ; B=(2|0| 0), C=(2|2| 0), h=12 \)

b) \( A=(0|0| 3) ; B=(4|0| 0), C=(4|5| 0), h=2 \)

Answer 1

a)

Fußpunkt der Pyramide

F = 1/2 * (A + C) = [1, 1, 0]

Spize der Pyramide

S = [1, 1, 12]

b)

D = [0, 5, 3]

F = 1/2 * (A + C) = [2, 2.5, 1.5]

AB = [4, 0, -3]

AD = [0, 5, 0]

N = [4, 0, -3] x [0, 5, 0] = 5 * [3, 0, 4]

S = [2, 2.5, 1.5] + 2/5 * [3, 0, 4] = [3.2, 2.5, 3.1]

Volumen ist 1/3 mal Grundfläche mal Höhe.

Comments

Wie mein Nick schon sagt, stehe ich mit diesem Thema ein bisschen auf Kriegsfuß...

a) ist klar

b) leider nicht so ganz. Hier meine Fragen

1. Warum rechnet der Mathecoach D überhaupt aus? Ich müsste die Ebene für das Vektorprodukt doch auch über AB und BC aufspannen können, oder?

2. Das Ergebnis des Vektorprodukts ja (15/0/20). Warum klammert Coach 5 aus? Krieg ich die Höhe 2 nicht anders in die letzte Gleichung (S=...) reingefummelt?

Ich muss die Rechnung übermorgen einem Jungen mit ADHS erklären. Ich habe ihn letztes Jahr ohne Probleme drüber gebracht, d. h. ich kenne ihn inzwischen recht gut. Und das ist so genau so ein plötzlicher Zwischenschritt, wo ich damit rechne, dass er in der Schularbeit möglicherweise nicht den Focus drauf haben wird...

---

1. Warum rechnet der Mathecoach D überhaupt aus? Ich müsste die Ebene für das Vektorprodukt doch auch über AB und BC aufspannen können, oder?

Du kannst die Fläche über BA und BC aufspannen oder sogar über AB und AC. Letzteres ist vielleicht nicht ganz so offensichtlich. Es führen viele Wege nach Rom. Du kannst daher einen nehmen der dir gefällt.

2. Das Ergebnis des Vektorprodukts ja (15/0/20). Warum klammert Coach 5 aus? Krieg ich die Höhe 2 nicht anders in die letzte Gleichung (S=...) reingefummelt?

Klar. Wenn du 5 nicht ausklammerst kannst du einfach 2/25 * [15, 0, 20] rechnen. Auch hier gilt das es verschiedene Wege nach Rom gibt. Die Länge des Vektors [3, 0, 4] solltest du kennen, weil 3, 4 und 5 das kleinste Pythagoräische Tripel ist. Ob du die Länge von [15, 0, 20] so aus dem Stehgreif mit 25 erkennst weiß ich nicht so genau.

---

alles klar, danke dir!

jetzt ist mir auch klar, woher die 5 in 2/5 herkommt. dachte zuerst, das wär der "Ausklammer-Fünfer" und nicht der Betrags-Fünfer. So macht das jetzt vollkommen Sinn für mich. Das das über den Einheitsvektor zu Rechnen sein müsste, ist mir erst später eingefallen. Wollte ich heute als Ergänzungskommentar noch reinschreiben, aber da bist du mir jetzt zuvorgekommen. Aus dem Stegreif wär ich natürlich nicht auf die 25 gekommen, aber der Junge ist so fix mit dem Taschenrechner, dass das nur ein minimaler Aufwand ist. Für ihn wird es so aber "logischer" sein, so gut kann ich ihn einschätzen.

Answer 2

(zwei Lösungen für S)

Da ist wohl auch S = (1 │ 1 │ -12) gemeint.