in der beschriebenen Situation ist \(\mu =120\) und \(\sigma = 10\). Gesucht ist erst einmal \(P(X\geq 130) =1- P(X\leq 129)\). Die Standardisierte \(X^*\) ist \(X^*=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{129-120}{10}=0.9\). Es ist also: \(P(X^*\leq 0.9)=\varphi(0.9)=0.81594\). D.h. \(P(X\geq 130) = 1 - P(X\leq 129) = 1- 0.81594 = 0.18406\). Das wirkt im ersten Moment nach einer ganzen Menge Personen. Besonders, wenn man bedenkt, dass man ab einem IQ von \(130\) als "hochbegabt" gilt und man einen solchen im Schnitt einmal unter \(50\) Personen findet. Der Mittelwert \(\mu\) liegt hier jedoch bei \(120\) und die Standardabweichung \(\sigma\) bei \(10\). Der Wert für "einer unter \(50\)" basiert auf \(\mu = 100\) und \(\sigma = 15\).
Es wurden \(20\) Personen getestet. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mindestens eine Person unter den \(20\) Personen findet, die einen IQ von mindestens \(130\) hat, entspricht der Wahrscheinlichkeit \(1\) minus die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der getesteten einen IQ \(\geq 130\) hat. Wir berechnen also: $$1-\left(0.81594\right)^{20}\approx 0.9829$$ D.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von \(98.29\%\) findet sich unter den Testpersonen mindestens einer mit einem IQ von mindestens \(130\). Du musst übrigens nicht den Weg über die Gegenwahrscheinlichkeit gehen, sondern kannst das auch exakt über eine Bernoulli-Kette lösen: $$\sum_{k=1}^{20}{\binom{20}{k}\cdot \underbrace{(1-0.81594)^k}_{\text{ IQ }\geq 130} \cdot 0.81594^{20-k}}\approx 0.982893$$
Wolfram|Alpha liefert dann: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+from+k%3D1+to+20+binom(20,k)+*+(1-0.81594)%5Ek+*+(0.81594)%5E(20-k)
André
