Potenzreihe mit Wurzeln unter dem Bruchstrich untersuchen. Für welche x konvergiert sie?

Question

hallo zusammen,

also ich habe folgende Reihe:$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{{x}^{n}}{\sqrt[3]{n}\sqrt[3]{n+1}}}$$ Ich soll nun bestimmen für welche x∈ℝ diese Reihe konvergiert, absolut konvergiert oder divergiert. Ich habe raus (mit dem Wurzelkriterium), dass die Reihe für alle x≥2 divergiert. Doch wann konvergiert die Reihe und auch absolut?

Comments

Das ist eine Potenzreihe. Du kannst den Konvergenzradius ausrechnen. Eine entsprechnende Formel solltest du in deinen Unterlagen finden.

Answer 1

mit dem Wurzelkriterium folgt

|an|^1/n=|x|/(n^1/[3n]*(n+1)^1/[3n])

Die Terme mit den Wurzen streben für n gegen unendlich gegen 1.

Somit strebt |an|^1/n --> |x| . Das soll für Konvergenz <1 sein, also |x|<1

Die Fälle |x|=1 müssen gesondert behandelt werden.

Comments

"Die Fälle |x|=1 müssen gesondert behandelt werden."

- Für |x|=1 kann ja keine Aussage getroffen werden. Heißt das, man muss andere Kriterien verwenden?

- Also konvergiert ja die Reihe für |x|<1.  Und für |x|>1 divergiert sie. Aber was ist mit der absoluten Konvergenz?

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Mir fällt gerade folgendes auf:

mit dem Wurzelkriterium untersucht man auf absolute Konvergenz, da man |an|^1/n

betrachtet. Daher kann man bisher sagen, dass die Reihe für |x|<1 absolut konvergiert.

Daraus folgt, dass die Reihe für 0<=x<1 normal konvergiert, da dort |x|=x.

x=1 wäre noch zu überprüfen, da kann man das Majoranten/Minorantenkriterium verwenden.

Für x>1 divergiert die Reihe normal und absolut.

Für negative x kann man x durch (-1)*y , y>0 ersetzen, sodass man nun das Leibnitzkriterium anwenden kann.