Aloha :)
Wir betrachten zunächst die folgenden beiden Potenzreihen:$$p_1(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k^3}{k!}\,x^k\quad;\quad p_2(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\sqrt[k]{k}-1\right)^k\,x^k$$
Der Konvergenzradius von \(p_1\) folgt aus der Quotientenregel:$$\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\left|\frac{k^3}{k!}\cdot\frac{(k+1)!}{(k+1)^3}\right|=\frac{k^3}{(k+1)^2}=\frac{k}{\frac{(k+1)^2}{k^2}}=\frac{k}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^2}\;\stackrel{k\to\infty}{\to}\;\infty$$\(p_1(x)\) konvergiert also für alle \(x\in\mathbb R\).
Der Konvergenzradius von \(p_2\) folgt aus der Wurzelregel:$$\frac{1}{\sqrt[k]{|a_k|}}=\frac{1}{\sqrt[k]{k}-1}\;\stackrel{k\to\infty}{\to}\;\infty$$Wegen \(\sqrt[k]{k}\to1\) konvergiert also auch \(p_2(x)\) für alle \(x\in\mathbb R\).
Da man zwei Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzradius zu einer addieren kann, ist der Konvergenzradius von$$p(x)=p_1(x)+p_2(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{k^3}{k!}+\left(\sqrt[k]{k}-1\right)^k\right)\,x^k$$ebenfalls \(x\in\mathbb R\).
