Stetigkeit der Funktion untersuchen

Question

Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Stetigkeit :

\(f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x \ln \left(1+x^{3}\right)}{y\left(x^{2}+y^{2}\right)}, & \text { falls }(x, y) \neq(0,0) \\ 0, & \text { falls }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Untersuchung der Funktion auf Stetigkeit

Stichworte: stetigkeit,funktion,analysis,folge

Text erkannt:

(3) Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Stetigkeit:
$$ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x \ln \left(1+x^{3}\right)}{y\left(x^{2}+y^{2}\right)}, & \text { falls }(x, y) \neq(0,0) \\ 0, & \text { falls }(x, y)=(0,0) \end{array}\right. $$

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Hatte 'mer gestern scho:

https://www.mathelounge.de/735672/stetigkeit-der-funktion-untersuchen

Answer 1

Hallo,

für \((x,y)\neq (0,0)\) ist \(f\) als Quotient stetiger Funktionen stetig. Interessant ist lediglich, was passiert, wenn sich \((x,y)\) dem Punkt \((0,0)\) annhähert.

Entlang des Weges \(x=0\) ist der Grenzwert \(0\). Entlang \(y=x^2\) gilt:$$\lim\limits_{(x,x^2)\to (0,0)}\frac{x \ln \left(1+x^{3}\right)}{x^2\left(x^{2}+x^4\right)}=\lim\limits_{(x,x^2)\to (0,0)}\frac{ \ln \left(1+x^{3}\right)}{x^3+x^6}\overset{0/0}=\lim\limits_{(x,x^2)\to (0,0)}\frac{\frac{3x^2}{1+x^3}}{3x^2+6x^5}=\lim\limits_{(x,x^2)\to (0,0)}\frac{3x^2}{(1+x^3)(3x^2+6x^5)}=\lim\limits_{(x,x^2)\to (0,0)}\frac{3x^2}{x^2(6x^6+9x^3+3)}=\lim\limits_{(x,x^2)\to (0,0)}\frac{3}{6x^6+9x^3+3}=\frac{3}{6\cdot 0+9\cdot 0+3}=1$$ damit ist \(f\) nicht stetig in \((0,0)\).