Funktionen f(x) = x^3, f(x) = √x sowie f(z)=zQUER^2 auf gleichmäßige Stetigkeit untersuchen

Question

Aufgabe:

a) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf gleichmäßige Stetigkeit:

(i) \( f:\left[0, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto x^{3}\right.\right. \)

(ii) \( g:[0, \infty[\rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sqrt{x} \)

b) \( \mathrm{Es} \) sei \( D \subseteq \mathbb{C} \).

(i) Formulieren Sie für eine Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{C} \) den Begriff gleichmäßige Stetigkeit.

(ii) Untersuchen Sie fïr \( D=\{z \in \mathbb{C}:|z| \leq 1\} \) die Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{C} \) : \( z \mapsto \bar{z}^{2} \) auf gleichmäßige Stetigkeit.

Answer 1

f(x)=x^3 auf [0, unendlich[.
Sei epsilon = 1/2. Dann muss es ein  delta (ich schreib mal d) geben, mit
| x - xo | < d    ⇒   | x^3 - xo^3 | < 1/2 für alle x, x0 aus  [0, unendlich[ .
Es zeigt sich, dass dies nicht möglich ist, denn sei
nun x0=1/wurzel(d)  und x = xo+d/2.

Dann ist | x - xo | < d
aber es gilt 
   | f(x) - f(xo) |
=  | x^3 - xo^3 | = (x-xo)*(x^2 + x*xo + xo^2 )  (ohne Betrag, da alles positiv)
= d/2 * ( ( xo+d/2)^2 + (d/2)*( xo+d/2) + d^2/4 )

= d/2 * ( (xo^2+2*x0*d/2 + (d/2)^2 + (d/2)* xo+d^2/4 + d^2/4 )

= d/2 * ( 1/d   +   wurzel(d) +   d^2/4 + wurzel(d)/2+d^2/4 + d^2/4 )

= d/2 * ( 1/d   +   1,5*wurzel(d) +   3d^2/4  )

= 1/2  + d/2 * 1,5*wurzel(d)  +   d/2 * 3d^2/4  jedenfalls größer als 1/2.

Also f nicht gleichm. stetig auf diesem Bereich.

Anders bei g(x). Sei dort eps > 0 und  wähle nun d= eps^2 . 

dann gilt für alle x, xo aus [0, unendlich[  , falls | x - xo | < d

wenn etwa x<xo ist:    0 ≤ x ≤ xo ≤ x+d = x + eps^2

<       x + 2x*eps + eps^2       (denn der vorige Term wurde ja vergrößert.)

=    (   wurzel(x) + eps)^2

also insgesamt   xo <   (   wurzel(x) + eps)^2   Da alles positiv : Wurzel zeihen:

wurzel(xo) < wurzel(x) + eps  | - wurzel(x)

wurzel(xo) - wurzel(x)  < eps.

Im Falle x>xo beginnst du mit xo ≤ x ≤ xo+d = xo + eps^2

und erhältst entsprechend  wurzel(x) - wurzel(xo)  < eps

Also jedenfalls |wurzel(xo) - wurzel(x)|  < eps    q.e.d.

Also g gleichmäßig stetig auf dem Bereich.