Cauchy-Folgen und Gleichmäßigkeit in Funktionen nachweisen

Question

Aufgabe:

Sei \( f:] 0,1[\rightarrow \mathbb{R} \) stetig. Zeigen Sie:

a) Ist \( f \) gleichmäßig stetig und \( \left(x_{n}\right)_{n} \) eine Cauchy-Folge in \( ] 0,1[ \), so ist auch \( \left(f\left(x_{n}\right)\right)_{n} \) eine Cauchy-Folge.

b) \( f \) ist genau dann gleichmäkig stetig, wenn die Grenzwerte \( \lim \limits_{z \rightarrow 0} f(x) \) und \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x) \) existieren.

Answer 1

Hallo und frohes Neues Jahr!!

a) Sei ε>0. Da f gleichmäßig stetig ist, $$\exists \delta >0 \text{ sodass } \forall x, y, \in [0,1] \text{ mit } |x-y|<\delta , \text{ haben wir dass } |f(x)-f(y)|<\epsilon$$

Da x_n eine Cauchy Folge ist, $$\exists n_0 \text{ sodass } |x_n-x_m|<\delta , \forall m, n \geq n_0$$

Also für all diese n und m haben wir dass $$|f(x_n)-f(x_m)|<\epsilon$$

Das bedeutet dass f(x_n ) Cauchy ist.