Gegeben sei eine gleichmäßig stetige Abbildung \( f: X \rightarrow Y \) zwischen zwei metrischen Räumen, von denen mindestens einer vollständig ist.
a) Zeigen Sie, dass für jede Cauchy-Folge \( \left(x_{n}\right) \subset X \) das Bild \( \left(f\left(x_{n}\right)\right) \) in \( Y \) konvergiert.
b) Zeigen Sie durch zwei Beispiele die Notwendigkeit von einerseits der Gleichmäßigkeit und andererseits der Vollständigkeit mindestens eines Raumes. Wählen Sie dazu \( f(x)=x \) oder \( f(x)=\frac{1}{x} \) und geeignete Mengen \( X, Y \subseteq \mathbb{R} \).
