Text erkannt:
\( \begin{array}{c} a_{1}=1 \quad a_{n+1}:=\frac{1}{1+a_{n}} \\ \quad \downarrow \text { fallenol } \\ a_{2}=\frac{1}{2}=0,25 \\ a_{3}=\frac{1}{3}=\frac{2}{3}=0,66 \\ \quad \downarrow \text { steigend } \\ a_{4}=\frac{\frac{1}{5}}{3}=\frac{3}{5}=0,6 \\ a_{5}=\frac{1}{\frac{9}{5}}=\frac{5}{8}=0,625 \end{array} \)
In gerade = Teilfolgen mon. stejend
Hn unperade = Teilfogen mon. fallend
Beschränkt heit : in gerade
\( \begin{array}{l} a_{2 n} \leq 1=\frac{1}{2} \leq 1 / \\ a_{2 n+2} \leq 1 \\ a_{2 n+2}=\frac{1}{1+a_{2 n-1}} \\ \frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{2 n}}}=\frac{1}{\frac{a_{2 n}+2}{1+a_{2 n}}}=\frac{a_{2 n}+1}{a_{2 n+2}} \leq 1 \\ \quad \begin{array}{c} \text { Nenner }>\text { Loiner } \end{array} \end{array} \)
Beschränktheit: n ungerade
\( \begin{array}{lll} a_{2 n+1} \geq 0 & (\mid S): a_{2 n+3} \geq 0 \\ \frac{2}{3} \geq 0 & \frac{1}{1+\frac{1}{a_{2 n+2}}}= & \frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{2 n+1}}} \end{array} \quad \frac{1}{\frac{a_{2 n+1}+2}{1+a_{2 n+1}}} \quad \frac{a_{2 n+1}+1}{a_{2 n+1}+2} \geq 0 . \)
Text erkannt:
Monotonie \( n \) gerade
\( \begin{array}{l} a_{2 n}<a_{2 n+2} \\ (1 A): a_{2}<a_{4} \quad \frac{1}{2}<\frac{2}{5} \\ (1 S): a_{2 n+2}<a_{2 n+4} \\ \frac{1}{1+a_{2 n+1}}<\frac{1}{1+a_{2 n+3}} \\ \frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{2 n}}}<\frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{2 n+2}}} \\ \frac{1}{a_{2 n+2}}=\frac{a_{2 n}+1}{a_{2 n+1}}=\frac{1}{a_{2 n+2}+2}<\frac{a_{2 n+2}+2}{a_{2 n+2}+1}=\frac{a_{2 n+2}+1}{a_{2 n+2}+2} \end{array} \)
(IV), daher
Monotonie: nungerade
\( \begin{array}{l} a_{2 n+1}>a_{2 n+3} \\ (1 A) \cdot a_{1} 6 b>0,625 \\ (I S): a_{2 n+3}>a_{2 n+5} \\ \frac{1}{1+a_{2 n+2}}>1 \frac{1}{a_{2 n+4}} \\ \frac{1}{1+\frac{1}{a} \cdot a_{2 n+1}}>1+\frac{1}{1+\frac{1}{n} a_{2 n+3}} \\ \frac{1}{\frac{a_{2 n+1}+2}{a_{2 n+1}+1}>\frac{1}{a_{2 n+3}+2}}=\frac{a_{2 n+1}+1}{a_{2 n+1}+2}>\frac{a_{2 n+3}+1}{a_{2 n+3}+2} \end{array} \)
(IV) daher
Weiß zufällig jemand wie ich beweise, dass die Folge (an) Cauchy ist? Dass dann im Endeffekt bewiesen ist, dass der Grenzwert der gleiche für die ungeraden und geraden Teilfolgen ist.
