Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und Cauchy-Eigenschaft. (a) X = [0,1], d(x,y) = |x−y|,

Question

Ich brauche hilfe!!!

Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und Cauchy-Eigenschaft.

(a) X = [0,1], d(x,y) = |x−y|,

(1) ( 7 / n² )∞ _n=3.

(2) ( n / n+2)∞ _n=0.

(b) X = (0,1), d(x,y) = |x−y| mit den gleichen Folgen wie in (a).

wie untersuche ich die Folgen auf Konvergenz und Cauchy Eigenschaften?

Comments

Was ist mit (a) " X = [0,1], d(x,y) = |x−y|, " ganz genau gemeint?

Zuerst ein abgeschlossenes (b offenes) Intervall, das X heisst und dann eine Abstandsdefinition?

(1) ( 7 / n² )∞ _n=3. 

(2) ( n / n+2)∞ _n=0.

Hast du vielleicht ein Summenzeichen unterschlagen?

Ohne Summenzeichen: Du brauchst doch Cauchy so nicht.

(7/n^2) ---> 0 für n --> unendlich.

(n/(n+2) ) → 1 für n --> unendlich.

Answer 1

Hallo Cagcel,

mir geht es ähnlich wie Lu. Irgendwie verstehe ich die Aufgabe nicht. Ich kann mir nur folgendes vorstellen.

Die Folgen sind in beiden Mengen Cauchyfolgen. In Teilaufgabe (a.) sind diese Folgen auch konvergent, da die Grenzwerte auch in diesen Mengen liegen und X vollständig ist.

In Teilaufgabe (b.) sind diese Folgen nicht konvergent, da die Grenzwerte nicht in der Menge liegen.

Aber, wie gesagt: nur eine etwas unqualifizierte Vermutung !!!

Comments

@Woodoo: Danke. Deine Interpretation scheint mir plausibel. Vielleicht meldet sich ja Cagcel nochmals.

EDIT: Cagcel hat sich hier gemeldet.  https://www.mathelounge.de/440049/zeige-dass-l-1-ein-banachraum-ist?show=440458#c440458