Cauchy Konvergenzkriterium: Konvergenz/Divergenz von Folgen

Question

Aufgabe:

$$\text{Weisen Sie die Konvergenz/Divergenz der Folgen}\\\text{I) } (n)_{n \geq 1}\\\text{II)  } \frac{1}{n}_{n \geq 1}\\\text{III) } ((-1)^n)_{n \geq 1}\\\text{IV) } (sin(\frac{n \pi}{2}))_{n \geq 1}\\\text{V) } (\sum \limits_{j=1}^{n} \frac{1}{j})_{n \geq 1}\\\text{ nach, indem Sie Cauchy's Konvergenzkriterium verwenden.}$$

Hallo zusammen,

leider verstehe ich nicht so ganz, wie ich das Cauchy Konvergenzkriterium hier anwenden soll. Mein Problem hier bei ist vor allem, dass ich nicht ganz verstehe wie man es benutzt.

Generell verstehe ich, wie es funktioniert nur die Anwendung kapier ich nicht so ganz. Wenn wir und die I) mal anschauen ist klar, dass diese Divergiert. Wie zeige ich aber, dass hier \(|a_n - a_m| = \infty\) gilt. Oder muss ich das garnicht so zeigen? Wie gesagt bin noch nicht so schlau draus geworden.

Danke im Voraus :)

Answer 1

Eine Folge  ist eine Cauchy-Folge , wenn es zu jedem ε>0 
einen Index N gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger
als ε voneinander entfernt sind.

I)  z.B. bei \(   (n)_{n \geq 1}  \) sind für jedes N∈ℕ die

nachfolgenden Folgengleider N+1, N+2, N+3, .....

Der Absatnd von zweien ist also immer mindestens 1.

Also gibt es z.B. für ε=0,5 kein solches N.

==>  Es ist keine Cauchy-Folge, also nicht konvergent.

II) Bei \(   (\frac{1}{n})_{n \ge 1} \)  muss man also irgendwie

hinbekommen, dass für n und m beide größer N gilt

       \(  |\frac{1}{n} - \frac{1}{m}| \lt \varepsilon  \)

Nun ist aber einer der beiden n oder m der kleinere, sagen wir mal n.

also       \(  \frac{1}{n}  \gt \frac{1}{m} \) und 1/m ist positiv, also

        \(  |\frac{1}{n} - \frac{1}{m}| = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \lt \frac{1}{n}   \)

Zu einem vorgegebenen ε musst du also das N so wählen, dass für

         n>N gilt   \(   \frac{1}{n}  \lt \varepsilon \)

und das ist ja für   \( n \gt \frac{1}{ \varepsilon } \)

       \(  \frac{1}{n}  \gt \frac{1}{m} \lt  \frac{1}{n}  \) erfüllt.   q.e.d.

Comments

Hab noch was ergänzt.

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Deine Abschätzung ist falsch. Du hast |n-m| nach unten abgesetzt und arbeitest mit der unteren Abschätzung weiter.

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Danke, hab ich auch grad gemerkt und korrigiert.

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Sorry, für die späte Antwort :)

Vielen lieben Dank, habe es denke ich verstanden!