Antwort mit KI erzeugt
Divergenzbeweis der Folge \( \left(a_{n}\right) \) mit \( a_{n}:=\frac{n^{2}}{n+1} \)
Um die Divergenz der gegebenen Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{n}:=\frac{n^{2}}{n+1} \) zu beweisen, verwenden wir die geforderten Methoden.
a) Beweis der Divergenz mit Hilfe der \( \varepsilon-n_{0} \)-Definition
Um zu zeigen, dass eine Folge \( \left(a_{n}\right) \) divergiert, beweisen wir, dass sie nicht konvergent ist. Die Definition der Konvergenz besagt, dass eine Folge \( \left(a_{n}\right) \) gegen eine reelle Zahl \( L \) konvergiert, wenn für jedes \( \varepsilon > 0 \) ein \( n_{0} \in \mathbb{N} \) existiert, sodass für alle \( n \geq n_{0} \) gilt: \( |a_{n} - L| < \varepsilon \). Die Folge divergiert, wenn wir zeigen können, dass dieser Zustand für kein \( L \) erfüllt ist.
Betrachten wir \( a_{n} \) genauer:
\( a_{n} = \frac{n^{2}}{n+1} \)
Da \( n^{2} \) viel schneller wächst als \( n + 1 \), erwarten wir intuitiv, dass \( a_{n} \) unbeschränkt wächst und somit gegen Unendlich divergiert. Wir zeigen, dass sie für kein \( L \) konvergiert.
Wählen wir ein spezifisches \( \varepsilon > 0 \) (zum Beispiel \( \varepsilon = 1 \)) und nehmen an, es gäbe ein \( L \), gegen das \( a_{n} \) konvergiere. Egal wie groß dieses \( L \) ist, durch entsprechende Wahl von \( n \) (genügend groß) können wir immer einen Wert \( a_{n} \) finden, der von \( L \) um mehr als unser gewähltes \( \epsilon \) abweicht.
Für große \( n \), können wir \( n + 1 \) annähernd durch \( n \) ersetzen, sodass wir \( a_{n} \approx \frac{n^{2}}{n} = n \) erhalten. Also für genügend großes \( n \), \( a_{n} - L \approx n - L \) kann beliebig groß gemacht werden, was der Forderung \( |a_{n} - L| < \varepsilon \) widerspricht. Dies zeigt die Divergenz.
b) Beweis der Divergenz mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums
Das Cauchy-Kriterium für Konvergenz besagt, dass eine Folge \( \left(a_{n}\right) \) konvergent ist, wenn zu jedem \( \varepsilon > 0 \) ein \( n_{0} \in \mathbb{N} \) existiert, sodass für alle \( m, n \geq n_{0} \) gilt, dass \( |a_{n} - a_{m}| < \varepsilon \) ist. Ein Nachweis der Divergenz erfolgt durch Aufzeigen, dass es ein \( \varepsilon > 0 \) gibt, für das diese Bedingung verletzt ist, egal wie groß \( n_{0} \) gewählt wird.
Wir betrachten die Differenz zwischen zwei Folgengliedern für \( n > m \):
\( |a_{n} - a_{m}| = \left|\frac{n^{2}}{n+1} - \frac{m^{2}}{m+1}\right| \)
Da \( n \) und \( m \) beliebig groß gewählt werden können, lässt sich leicht einsehen, dass der Unterschied zwischen \( a_{n} \) und \( a_{m} \) für große \( n \) und \( m \) ebenfalls beliebig groß werden kann, insbesondere größer als ein vorgegebenes \( \varepsilon \).
Konkret: Für genügend große \( n \) und \( m \) (mit \( n \) deutlich größer als \( m \)), kann \( |a_{n} - a_{m}| \) durch geeignete Wahl von \( n \) und \( m \) größer als jedes vorgegebene \( \varepsilon \) gemacht werden, was bedeutet, dass die Folge nicht Cauchy-konvergent ist und daher divergiert.
Diese beiden Ansätze begründen die Divergenz der Folge \( a_{n} \) und zeigen, dass sie keine Grenze besitzt, gegen die sie konvergiert.
