Zeigen Sie die Konvergenz der Reihe und Divergenz des Cauchyprodukts

Question

Aufgabe:

Die Folge $$(a_{n})_{n=0}^{\infty}$$ sei defniert durch $$a_{0} := 0 \text{ und } a_{n} := \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} \text{ für alle } n \in \mathbb{N}$$

(a) Zeigen Sie die Konvergenz der Reihe $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}$$
(b) Zeigen Sie die Divergenz des Cauchyprodukts von $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}$$ mit sich selbst. Begründen Sie, warum
dies nicht dem Satz über die Konvergenz des Cauchyprodukts widerspricht

Comments

Hallo, erleichtere uns doch ein wenig die Arbeit und erkläre, ob die Konvergenz der einzelnen Reihen für Dich klar ist. Dann könntest Du schonmal die Koeffizienten des Cauchy-Produkts aufstellen und dann fragen, was Dir noch unklar ist.

Gruß

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Hallo, die Konvergenz von a_n ist zwar klar für mich. Ich sehe, dass die Reihe gegen 0 konvergiert. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das richtig zeigen kann.

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Hallo,

" Ich sehe, dass die Reihe gegen 0 konvergiert."

Das ist falsch, Du hast Dich möglicherweise noch nicht mit dem Begriff der Reihe auseinandergesetzt - oder Dich nur verschrieben?

Also: Was bedeutet Konvergenz eine Reihe? Welche Konvergenzkriterien habt Ihr besprochen (die Namen genügen)?

Gruß

Answer 1

Zur Divergenz des Cauchyproduktes:

Ich will zeigen, dass \(\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{i=0}^n a_ia_{n-i})\) divergiert.

Bekanntermaßen gilt für das geometrische und das arithmetische

Mittel die Ungleichung \(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\), also auch

\(\frac{1}{\sqrt{ab}}\geq \frac{2}{a+b}\). Daher ist

\(\frac{1}{\sqrt{i(n-i)}}\geq \frac{2}{n}\). das Cauchypordukt liefert nun

wegen \(a_0=0\):

\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{i(n-i)}})\).

Es ist nun \(\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{i(n-i)}}\geq (n-1)\cdot \frac{2}{n}\rightarrow 2\) für \(n\rightarrow \infty\).

Daher ist das notwendige "Trivialkriterium" für die Konvergenz verletzt.