Bestimmen Sie das Cauchyprodukt der Reihen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie das Cauchyprodukt der Reihen
$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}3^{-n}$$

und

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}5^{-n}$$

und berechnen Sie dessen Reihenwert

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{=}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty3^{-n}\right)\left(\sum\limits_{n=0}^\infty5^{-n}\right)=\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n}\right)\left(\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{5^n}\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{3^k}\cdot\frac{1}{5^{n-k}}$$$$=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{5^n}\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{3^k}\cdot\frac{1}{5^{-k}}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{5^n}\sum\limits_{k=0}^n\frac{5^k}{3^k}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{5^n}\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{5}{3}\right)^k=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{5^n}\cdot\frac{1-\left(\frac{5}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{5}{3}}$$$$=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{5^n}\cdot\frac{\left(\frac{5}{3}\right)^{n+1}-1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{5^n}\left(\left(\frac{5}{3}\right)^{n+1}-1\right)=\frac{3}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{5}{3^{n+1}}-\frac{3}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{5^n}$$$$=\frac{5}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}-\frac{3}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{5^n}=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3}}-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{5}}=\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}=\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}=\frac{15}{8}$$