Aufgabe:
Sei an monoton fallend mit an ≥ 0 und n ∈ N. Zeigen Sie, dass $$\lim\limits_{n\to\infty} n a_n = 0$$, wenn $$\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n$$ konvergent ist.
Problem/Ansatz:
Ich habe mir schon einiges überlegt gehabt. an ist eine Nullfolge also erhält man im limes mit n multipliziert 0 mal unendlich was ein nicht definierter Ausdruck ist. Ich hatte mir auch überlegt die Reihe $$\sum \limits_{n=0}^{\infty} n a_n$$ mit Cauchy Konvergenz Kriterium zu betrachten. Aber das kann schon gar nicht gehen, da wenn man als Beispiel für an = 1/n2 betrachtet wäre die Reihe divergent, aber der limes wäre trotzdem 0. Das einzige was mir noch einfällt wäre die Folge n an mit Cauchy auf Konvergenz zu untersuchen. Und wenn es eine Cauchy folge ist, dann ist der Grenzwert auch 0, da an als Teilfolge den Grenzwert 0 hat.
