Hallo und frohes Neues Jahr!!
a) Sei ε>0. Da f gleichmäßig stetig ist, ∃δ>0 sodass ∀x,y,∈[0,1] mit ∣x−y∣<δ, haben wir dass ∣f(x)−f(y)∣<ϵ
Da xn eine Cauchy Folge ist, ∃n0 sodass ∣xn−xm∣<δ,∀m,n≥n0
Also für all diese n und m haben wir dass ∣f(xn)−f(xm)∣<ϵ
Das bedeutet dass f(xn ) Cauchy ist.