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Aufgabe:

Sei f : ]0,1[R f:] 0,1[\rightarrow \mathbb{R} stetig. Zeigen Sie:

a) Ist f f gleichmäßig stetig und (xn)n \left(x_{n}\right)_{n} eine Cauchy-Folge in ]0,1[ ] 0,1[ , so ist auch (f(xn))n \left(f\left(x_{n}\right)\right)_{n} eine Cauchy-Folge.

b) f f ist genau dann gleichmäkig stetig, wenn die Grenzwerte limz0f(x) \lim \limits_{z \rightarrow 0} f(x) und limx1f(x) \lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x) existieren.

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Hallo und frohes Neues Jahr!!


a) Sei ε>0. Da f gleichmäßig stetig ist, δ>0 sodass x,y,[0,1] mit xy<δ, haben wir dass f(x)f(y)<ϵ\exists \delta >0 \text{ sodass } \forall x, y, \in [0,1] \text{ mit } |x-y|<\delta , \text{ haben wir dass } |f(x)-f(y)|<\epsilon

Da xn eine Cauchy Folge ist, n0 sodass xnxm<δ,m,nn0\exists n_0 \text{ sodass } |x_n-x_m|<\delta , \forall m, n \geq n_0

Also für all diese n und m haben wir dass f(xn)f(xm)<ϵ|f(x_n)-f(x_m)|<\epsilon

Das bedeutet dass f(xn ) Cauchy ist.

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