Beweis gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion, die auf ein kompakte Menge eingeschränkt ist

Question

Aufgabe:

Seien X,Y normierte Räume und f: X→Y eine stetige Abbildung. Weiterhin ist C⊂X kompakt.

Gezeigt werden soll, dass f|_C gleichmäßig stetig ist, also ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y ∈C: |x-y|_x <δ ⇒ |f(x) - f(y)|_y <ε.

Kann mir hier jemand helfen? Ich habe keine Ahnung, wie ich diese Implikation beweisen soll.

Ich bin über jede Hilfe dankbar!

Answer 1

Hallo,

Sei \(\varepsilon>0\). Da \(f\) stetig ist gibt es zu jedem \(x\in C\) ein \(\delta(x)>0\) sodass $$|x-y|<2\delta(x)\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\frac{1}{2}\varepsilon$$ 
Weiterhin ist $$C\subseteq\bigcup_{x\in C}B_{\delta(x)}(x)$$ wobei \(B_r(z)\) die offene Kugel vom Radius \(r\) um \(z\) ist.
Das ist eine offene Überdeckung von \(C\), da \(C\) kompakt ist existiert also eine endliche Teilüberdeckung, d.h. es gibt \(x_1,...,x_n\in C\) sodass \(C\subseteq\bigcup_{i=1}^nB_{\delta(x_i)}(x_i)\).

Hast du eine Idee, wie du nun das gesuchte \(\delta\) wählen kannst?
LG Dojima

Comments

Nein, leider habe ich keine Idee.

---

Probiere mal \(\delta=\min\{\delta(x_1),...,\delta(x_n)\}\).
Wenn du den Beweis verstehen willst, rechne wirklich nochmal nach, dass tatsächlich \(|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\) für alle \(x,y\in C\) gilt.

---

Wie meinst du nachrechnen?

Ich bin mit diesem Beweis einfach überfordert

---

Gemeint habe ich folgende Überlegung:
Seien \(x,y\in C\) mit \(|x-y|<\delta\). Dann gibt es ein \(i\in\{1,...,n\}\) sodass \(x\in B_{\delta(x_i)}(x_i)\) da ja \(C\subseteq\bigcup_{i=1}^nB_{\delta(x_i)}(x_i)\) (d.h. \(|x-x_i|<\delta(x_i)<2\delta(x_i)\)). Nach der Wahl von \(\delta(x_i)\) ist also \(|f(x)-f(x_i)|<\frac{1}{2}\varepsilon\).
Es ist weiterhin $$|x_i-y|\leq|x_i-x|+|x-y|<\delta(x_i)+\delta\leq2\delta(x_i)$$
Nach Wahl von \(\delta(x_i)\) ist also wieder \(|f(x_i)-f(y)|<\frac{1}{2}\varepsilon\).
Insgesamt erhalten wir: $$|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-f(x_i)|+|f(x_i)-f(y)|<\varepsilon$$

Damit ist \(f\vert_C\) also gleichmäßig stetig.