(Un)stetigkeit von f

Question

Sei \( (X, d) \) ein kompakter metrischer Raum und \( f: X \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Abbildung. Zeigen Sie, dass \( f \) gleichmäßig stetig ist. (8 Punkte)

Hallo Leute, könnt ihr euch vorstellen, wie das Gegenteil so einer Aufgabe + beweis aussehen würde/könnte? Könnte ihr mir dazu eventuell eine musterlösung geben? ^^'

In der klausur kam die oben angegebene Aufgabe vor und ich habe keine Ahnung, wie man sie löst :D ich habe die klausur nur knapp versagt, daher denke ich, dass es reichen würde, so eine Aufgabe zu beantworten :D

Liebe Grüße

Answer 1

Hallo,

aus Deiner Frage entnehme ich, dass Ihr einen indirekten Beweis führen sollt. (Es geht auch direkt.)

Die Definition von gleichmäßiger Stetigkeit lautet:

$$\forall \epsilon >0: \exists \delta>0: \forall x,y \in X: \quad d(x,y)<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \epsilon$$

Nimm an, diese Aussage sei falsch. Nimm also an, das Gegenteil sei richtig. Wie lautet die Gegenaussage zu dieser Definition? In dieser Gegenaussage taucht der Term \(\forall \delta>0\) auf, wähle hier \(\delta=1/n\) und erhalte aus dem weiteren Folgen \((x_n), (y_n)\). Dann greift die Kompaktheit .....

Gruß Mathhilf

Comments

Okay, nach intensivem grübeln, habe ich es endlich auch verstanden, denke ich :D Danke dir!

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(Ein Tipp und intensives Grübeln => Erfolg) = Erfolgsrezept.

Gruß Mathhilf