Untersuche f : M → R auf gleichm. Stetigkeit.

Question

Wie muss ich hierbei vorgehen ?

 (a) M = (0,∞),  f(x) := √ x, 

(b) M = (0,∞), f(x) := √ 1 x ,

Comments

(b) M = (0,∞), f(x) := √ 1 x

bedeutet
√ ( 1 ) * x

dies ist sicherlich nicht die Funktion.

Kannst du gleichmäßige Stetigkeit
gegen die normale Stetigkeit abgrenzen
und mir erklären.

Answer 1

gleichmäßig stetig heißt doch:  Bei der eps- Delta Definition


findest du ein Delta, dass nur von eps und nicht von der betrachteten

Stelle abhängt.

Bei der Wurzel ist das einfach, wenn man die Ungleichung


| √x  -   √y  |  ≤    √ |x-y|      kennt.

(ggf. kannst du die leicht zeigen)


Denn wenn du dann    |x-y| < Delta hast ,  ist 


 wegen der Monotonie der Wurzel 


                          √ |x-y|      <     √ Delta 

          Also auch     | √x  -   √y  |   <    √ Delta 
Wähle also zu gegebenem eps einfach  Delta = eps² ,

dann kommst du hin.   Die  √-Funktion ist also gleichmäßig stetig

auf IR⁺  .