Konvergenzbeweis: lim(an-bn) = a - b

Question

ich komme bei meinem Beweis für lim(an-bn) = a - b nicht weiter:

folgendes ist gegeben: lim an = a, lim an = b (an und bn sind folgen)

nun habe ich: |(an - bn) - (a - b)| = |an - a -bn + b| = |(an - a) - (bn - b)| >= |an-a| - |bn-b| komme ab hier nicht mehr weiter, wobei ich weiß, dass |an - a|< als epsilon und |bn - b| kleiner als epsilon ist.

Answer 1

Hallo je,

seien  lim(a_n) = a ,  lim(b_n) = b   und  ε ∈ ℝ⁺

Behauptung:  Es gibt N ∈ ℕ  mit  |  a_n - b_n  - ( a - b) | < ε  für alle n > N

 Nach Voraussetzung gibt es N₁ , N₂ ∈ ℕ mit

| a_n - a | < ε / 2   für n > N₁      und   | b_n - b | < ε / 2   für  N > N₂

Mit N := max( N₁ , N₂)  gilt  für alle n > N:

 |  a_n - b_n  - ( a - b) |  = | (a_n - a) + (b - b_n)  |

                                               Dreiecksungleichung |a+b| ≤ |a| + |b| :

                                  ≤  | a_n - a | + | b - b_n |  = | a_n - a | + | b_n - b |  <  ε/2 +   ε/2  = ε  

Gruß Wolfgang 

Comments

Oh nein ich bin so dumm...

Wir hatten sogar in der Vorlesung besprochen, dass |x-y| = |y-x|. Schade, dass ich nicht früher daran gedacht hab, da ich bereits soweit:  | a_n - a | + | b - b_n | gekommen bin aber nicht mehr weiter wuste. :(

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Dafür habt ihr ja uns.  Und sei nicht so streng mit dir   :-)