Monotonie untersuchen Funktion f(x)= x-ln(1+x^2)

Question

bitte um Hilfe bei folgender Funktion = f(x)= x-ln(1+x²)

Answer 1

Warum versuchst du nicht mal gelerntes zunächst alleine anzuwenden ?

Ableitung bilden kannst du oder?

Auf > 0 oder < 0 Untersuchen solltest du auch können.

Auch den Graphen skizzieren sollte möglich sein

~plot~ x-ln(1+x^2) ~plot~

Comments

Die Ableitung ist zur Kontrolle

f'(x) = (x - 1)^2 / (x^2 + 1)

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wieso geh ich den schon wieder von 0< oder 0> aus? weil die 1 Ableitung da null ist?

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ist das Kettenregel bei der Ableitung?

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Ableitung:

1 -  2x/(x²+1)   mit Kettenregel

dann auf einen Nenner   gibt 


(x-1)² /  (x²+1)

und das ist nie negativ, also alles monoton steigend.

        

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durch das Quadrat kann es nie negativ werden deshalb monoton steigend? aber woran erkenne ich das es nicht streng ist sondern nur monoton steigend? die kurve wir ja einmal kurz gerade und steigt nicht, woran erkenne ich das in der Funktion ?

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und wie bist du auf (x-1)² gekommen? ich habe da x^2+1-2x raus, wie vereinfache ich das denn nochmal?

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binomische Formel  x² - 2x + 1 = ( x-1)²

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ich bin mit der quadratischen Ergänzung drauf gekommen! ist doch sicher auch möglich oder?

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Eigentlich steht doch schon die quadratische Ergänzung da. Was hast du denn da noch ergänzt? Aber solange es nachvollziehbar und richtig ist ist es ganz ok.

Streng monoton steigend wenn f(b) > f(a) für alle b > a

Die Funktion ist also streng monoton steigend.

Die Bedingung "Streng monoton steigend wenn f'(x) > 0 für alle x" ist nur eine hinreichende aber keine notwendige Bedingung. Es gibt also auch durchaus streng monoton wachsende Funktionen deren Ableitung null wird. Z.B. gehört auch x^3 zu diesen Funktionen.