Monotonie von 1/ln(x) begründen

Question

Aufgabe:

Hallo, wie begründet man dass 1/ln(x) streng monoton fallend ist. Erläuterung aber auch ne Rechnungg.

Bitte kann jemand mir da helfen?

Comments

Es ist \(\frac12<2\) und \(\dfrac1{\ln\frac12}<\dfrac1{\ln2}\). Also ist die Funktion nicht monoton fallend.

Answer 1

Weißt du das ln(x) eine streng monoton steigende Funktion ist?

Schwierig ist das an der Stelle 1 an der 1/ln(x) dann nicht definiert ist. Dort hat man beim Grenzwert allerdings einen Vorzeichenwechsel von - nach +.

~plot~ 1/ln(x);x=1 ~plot~

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Man könnte auch über die Ableitung argumentieren

f(x) = 1 / LN(x)

f'(x) = - 1/(x·LN(x)^2)

In den Intervallen ]0 ; 1[ und ]1 ; ∞[ ist die Ableitung immer negativ oder?

Answer 2

Zeige :

für beliebige x > x' , wobei x' > 0, gilt:

f(x) - f(x') < 0

1/ln(x) - 1/ln(x') < 0 (+ 1/ln(x))

1/ln(x') < 1/ln(x)     (Kehrbruch)

ln(x') > ln(x)

Damit könnte man besser nachvollziehen, dass 1/ln(x) streng monoton sinkend ist. Dadurch, dass ln(x) immer größer wird, je größer x wird, wird der Bruch 1/ln(x) wegen des steigenden Nenners immer kleiner.

(keine Gewähr)

Comments

Man beachte auch eventuelle Vorzeichen.

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Stimmt, die Funktion ist für x (oder in dem Fall x') kleiner gleich 0 nicht definiert. Danke für die Anmerkung.