Kurvendiskussion von ln(x)/x. Definitionsbereich und Nullstellen bestimmen. Monotonie und lokale Extremstellen.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion

\( f(x)=\frac{\ln (x)}{x} \)

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich und alle Nullstellen von \( f \).

b) Berechnen Sie \( f^{\prime} \) und untersuchen Sie \( f \) auf Monotonie und lokale Extremstellen. Bestimmen Sie die (exakten) Funktionswerte in allen lokalen Extremstellen.

c) Berechnen Sie

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) \text { und } \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) \)

d) Untersuchen Sie \( f \) auf globale Extremstellen.

e) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \( f \) und geben Sie ggf. die Wendepunkte von \( f \) an.

f) Skizzieren Sie den Graphen von \( f \).

Ansatz:

Ich habe bei a) den maximalen Definitionsbereich von R+ und die Nullstelle 1 schon errechnet.

Bei b) habe ich die Ableitung gebildet: f ' (x) = ( 1 - ln (x) ) / x² Um die lokalen Extremstellen zu berechnen, muss ich ja f ' (x) = 0 setzen. Als Ergebnis habe ich +/- Wurzel (1/2) heraus bekommen, aber ich glaube, dass ist falsch.. oder? Um die exakten Werte herauszufinden muss ich ja meine x Werte in die Ausgangsfunktion einsetzen.

Answer 1

f(x) = LN(x)/x

f'(x) = (1 - LN(x))/x^2

f''(x) = (2·LN(x) - 3)/x^3

b) Extremstellen f'(x) = 0

1 - LN(x) = 0

LN(x) = 1

x = e

c)

lim (x→∞) LN(x) / x

L'Hospital

= lim (x→∞) 1/x / 1

= lim (x→∞) 1/x

= 0

lim (x→0) LN(x) / x

= ∞

Hier noch eine Skizze, die du dir eigentlich selber anfertigen solltest. Mit einer Skizze hat man schon eine ungefähre Ahnung was es zu untersuchen gilt.

Answer 2

f ' (x) = ( 1 - ln (x) ) / x²  ....  <- ist richtig

Um die lokalen Extremstellen zu berechnen, muss ich ja f ' (x) = 0 setzen. ... <-  genau !

Als Ergebnis habe ich +/- Wurzel (1/2) heraus bekommen, aber ich glaube, dass ist falsch.. ->

-> dein Glaube ist der Richtige ..

für die Nullstellen von  f ' (x)  wirst du die Nullstellen des Zählers untersuchen ->

wann wird  -> 1 - ln(x) = 0

also -> ln(x) = 1 ...=> x= ?

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ach du meine Güte -> sehe gerade, dass ein Alleskönner dir keinen

eigenen Denkraum mehr lässt

toll !

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