Kurvendiskussion _ ln funktion

Question

Ich habe eine Klausuraufgabe zur Kurvendiskussion:

Bestimmen Sie von der folgenden Funktion den Definitionsbereich, die Nullstellen, die Extrema und Wendepunkte. Untersuchen Sie auch die Monotonie und die Krümmung.

g(x)= 5*(lnx/x)

Comments

Wie soll es heißen

5 * ( lnx ) / x
oder
5 * ln (x / x )

Nachtrag : Die zweite Variante ist unsinnig.
Also
5 * ln( x)  / x

Answer 1

Ich tippe mal es ist   5 * ( lnx ) / x gemeint.
Definitionsbereich     alle positiven aus IR, denn sonst klappt kein ln(x).
Nullstellen   f(x)=0   genau dann wenn  ln(x)=0    also   x=1

Ableitungen   f ' (x) =   5 *  ( 1 - ln(x) ) /    (x^2 )           f '' (x) =   5 *  ( 2 ln(x)   -  3) /    (x^3 )

also f ' (x) = o   genau für  x = e   mit   f '' (e) = -5  e^{-3}   < 0

also rel Max. bei x=e

Dan hast du auch die Monotonie   steigend über ]0;e[ und fallend über ]e;unendlich[.

Wendestelle ist bei e^1,5

Answer 2

5 * ln( x)  / x
Def-Bereich
wegen ln : x > 0
wegen . / x : x ≠ 0
D = ℝ^{+}

Nullstellen :
ln(x ) = 0
x = 1
N ( 1  | 0 )

Ableitungen
f ( x ) = 5 * ln( x)  / x
f ´ ( x ) = 5 * ( 1/x * x - ln(x) * 1 ) / ( x^2 )
f ´( x ) = 5 * ( 1 - ln(x) ) / x^2

f ´´ ( x ) = 5 * [ -1/x * x^2 - ( 1 - ln(x) )*2x ] / x^4
f ´´( x ) = 5 * [ -x - 2x + 2*x*ln(x) ] / x^4
f ´´ ( x ) = 5 * x * [ -3 + 2 * ln(x) ] / x^4
f ´´ ( x ) = 5 * [ -3 + 2 * ln(x) ] / x^3

5 * ( 1 - ln(x) ) / x^2 = 0
1 - ln(x) = 0
ln(x) = 1
x = e
f ( e ) = 5 / e
E ( e  | 5 / e )

Monotonie ( steigend )
5 * ( 1 - ln(x) ) / x^2 > 0
1 - ln(x ) > 0
ln(x) < 1
x < e
Bis e steigend, dann fallend.
E ist max.

Wendepunkt
5 * [ -3 + 2 * ln(x) ] / x^3 = 0
-3 + 2 * ln(x)  = 0
2 * ln(x) = 3
ln(x) = 1.5
x = e^{1.5}

W ( e^{1.5}  | 1.67 )

Krümmung ( Linkskrümmung )
-3 + 2 * ln(x)  > 0
ln(x) > 1.5
bis zum Wendepunkt Rechtskrümmung
dann Linkskrümmung