funktion in Parameterdarstellung x(t)=t^2, y(t)=-4t^4+8t^2-1, tER die Ableitung als Funktion

Question

Anwendung zu Differentialrechnung!

gegebene Funktion in Parameterdarstellung.

Berechnung für

r x(t)=t^2, y(t)=-4t^4+8t^2-1, tER die Ableitung als Funktion

Was muss ich da machen???

Jemand einen Lösungsansatz oder kann mir das einmal vorrechnen, wie ich das berechnen muss ?

Comments

$$   y(t)=-4t^4+8t^2-1$$
$$  x(t)=t^2 \quad $$
$$y'=-16t^3+16 t$$
$$x'=2 t$$
$$t= \frac 12 \cdot x'$$
---
$$y'=-16\left(  \frac 12 \cdot x' \right)^3+16 \left(  \frac 12 \cdot x' \right)$$
$$y'=-  \frac {16}8 \cdot \left(x' \right)^3+  \frac {16}2 \cdot \left(x' \right)$$
$$y'=-  2 \cdot \left(x' \right)^3+ 8 \cdot \left(x' \right)$$

---

Variante:

$$   y(t)=-4t^4+8t^2-1$$
$$  x(t)=t^2 \quad $$
$$  t(x)=\pm \sqrt x \quad $$
---
$$   y(x)=-4 \cdot \left( \pm \sqrt x \right)^4+8 \cdot \left( \pm \sqrt x \right)^2-1$$
$$   y(x)=-4 \cdot \left(x \right)^2+8 \cdot \left(  x \right)-1$$
$$   y'(x)=-8\cdot \left(x \right)+8 $$

---

noch eine Variante:

$$   y(t)=-4t^4+8t^2-1$$
$$  x(t)=t^2 \quad $$
$$   \frac {d \, y(t)}{d\, t}=-16t^3+16t$$
$$  \frac {d \,x(t)}{d\, t}=2t \quad $$
$$  \frac {d \,y(t)}{d\, x(t)}=  \frac {  \frac {d \,y(t)}{d\, t}}{ \frac {d \,x(t)}{d\, t}}$$
$$  \frac {d \,y(t)}{d\, x(t)}=  \frac {  -16t^3+16t}{2t}$$
$$  \frac {d \,y}{d\, x}=   {  -8t^2+8}$$

$$  \frac {d \,y}{d\, x}=   {  -8 x +8}$$

---

... und noch eine :

$$   y(t)=-4t^4+8t^2-1$$
$$   y'(t)=-16t^3+16t$$
$$  x(t)=t^2 \quad $$
$$  t(x)=\pm \sqrt x $$
$$  t'(x)=\pm \frac 1{2 \sqrt x}$$
$$   y'(x)=y'(t) \cdot t'(x)$$
$$   y'(x)=\left( -16t^3+16t\right) \cdot \frac {\pm 1}{2 \sqrt x}$$
$$   y'(x)=\pm 8 \cdot \left( -t^3+t\right) \cdot \frac {1}{ \sqrt x}$$
$$   y'(x)=\pm 8 \cdot \left( -\sqrt x^3+\sqrt x\right) \cdot \frac {1}{ \sqrt x}$$

$$   y'(x)=\pm 8 \cdot \left( -\sqrt x^2+1\right)$$
$$   y'(x)=\mp 8 \cdot \left( 1- x\right)$$

---

ja danke. die parameter muss ich dann gesondert betrachten?

ah, du hast erst gesondert abgeleitet und dann eingesetzt in die fkt, oben bei der ersten Variante?!

Answer 1

Spricht was dagegen, auf eine parameterfreie Darstellung zu wechseln?

$$ y(x)=-4x^2+8x-1 $$

Comments

wie bist du denn gewechselt?

Answer 2

Hallo dtfahrer,      

deine Aufgabenstellung ist nicht so ganz klar :-)

Gemeint ist wohl:

Die vektorwertige Funktion   \(\vec{r}\): ℝ → ℝ²  mit 

 \(\vec{r}\)(t) = \(\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}\)  = \(\begin{pmatrix} t^2 \\-4t^4+8t^2-1  \end{pmatrix}\)

hat die Ableitung

\(\vec{r}\) '(t) =  \(\begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}\) =   \(\begin{pmatrix} 2t \\ -16t^3+10t \end{pmatrix}\)

--------

Bei Anwendungen (z.B. in der Physik) steht t meist für die Zeit.

 \(\vec{r}\)(t) gibt dann die Koordinaten des Ortes an, wo sich ein körper zur Zeit t befindet.

\(\vec{r}\) '(t)  gibt die Geschwindigkeitskomponenten v_x(t)  und v_y(t) in x- bzw. y-Richtung an. 

Gruß Wolfgang

Comments

hmmm, mehr steht bei mir auch nicht auf dem aufgaben Blatt. sind Anwendungen zur differernzialrechnung