Zeigen Sie: F ist eine lineare Abbildung. (Eigenschaften der multilinearen, antisymmetrischen Abbildung)

Question

Aufgabe:

Seien \( V \) ein \( K \)-Vektorraum, \( K \) ein Körper mit char( \( K) \neq 2 \) und \( F: L^{n}(V, K) \rightarrow L^{n}(V, K) \) sei eine Abbildung definiert durch

\( F(g)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right):=\frac{1}{n !} \sum \limits_{\sigma \in S_{n}} \operatorname{sgn}(\sigma) g\left(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)}\right) \)

Zeigen Sie:

(a) \( F \) ist eine lineare Abbildung.

(b) \( F(g)=g \) für alle \( g \in A^{n}(V, K) \).

(c) \( \operatorname{im} F=A^{n}(V, K) \).

(d) \( F \circ F=F \).

Hierbei ist \( A^{n}(V, K) \subseteq L^{n}(V, K) \) der Raum der alternierenden \( n \)-linearen Abbildungen.

Answer 1

\(g\in A^n(V,K)\) aendert das Vorzeichen, wenn man zwei Argumente vertauscht: $$g(\ldots,x_j,\ldots,x_i,\ldots)=-g(\ldots,x_i,\ldots,x_j,\ldots).$$ Eine beliebige Permutation \(\sigma\) kann man als Hintereinanderausfuehrung von paarweisen Vertauschungen schreiben. Wenn man \(\nu(\sigma)\) solcher Vertauschungen für \(\sigma\) braucht, folgt $$g(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})=(-1)^{\nu(\sigma)}g(x_1,\ldots,x_n)$$ und wegen \(\operatorname{sgn}\sigma=(-1)^{\nu(\sigma)}\) dann (b).