Für welche a ∈ [-1,1], ist die Abbildung mit Signum surjektiv, injektiv, bijektiv?

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Abbildung \( f:[-1,1] \rightarrow[-1,1] \) gegeben durch
$$ f(x)=a \operatorname{sgn}(x) \sqrt{|x|}, \quad a \in[-1,1] $$
mit
$$ \operatorname{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{ll} {1} & {, x>0} \\ {0} & {, x=0} \\ {-1} & {, x<0} \end{array}\right. $$
Für welche \( a \in[-1,1] \) ist die Abbildung \( f \) surjektiv, injektiv, bijektiv?

Ansatz:

Für Injektivität habe ich die streng Monotonie der Funktion betrachtet (also f'(x)> 0 und f'(x) <0). Ist dieses Verfahren richtig? Wie kann ich Surjektivitat zeigen?

Answer 1

Außer für a=0 ist es immer Injektiv, da streng monoton.

surjektiv nur für |a|=1.   siehe Beispiele

~plot~ 0.7*(-(x<0)*sqrt(abs(x))+(x>0)*sqrt(abs(x)));-0.5*(-(x<0)*sqrt(abs(x))+(x>0)*sqrt(abs(x))); ~plot~

Comments

Aber warum surjektiv nur fur |a|= 1?

Der Wertebereich ist [-1, 1]. Und aus dem Graph ist es offentsichtlich dass fur jede y ∈ [-1,1] existiert ein x ∈ [-1,1] : f(x) = y.

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Nö, dann sag mal einen (ungefähren) Wert  von x für

den f2(x)=0,9 gilt .

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Entschuldigung, ich habe nicht verstanden. Kannst du es besser erklären?

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Die Aussage:

"aus dem Graph ist es offensichtlich, dass für jedes y ∈ [-1,1]

existiert ein x ∈ [-1,1] : f(x) = y."

ist falsch.

Für y=0.9 müsste bei das x ungefähr -3 sein. Das ist aber nicht

für  x ∈ [-1,1] erfüllt.