Reihenwert und Konvergenz bestimmen. Bsp. Summe (3 + (-1)^n)/(2^{n+1})

Question

Überprüfen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen und bestimmen Sie gegebenenfalls den Reihenwert:

(a)  $$\\ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 3+(-1)^{ n } }{ 2^{ n+1 } }  }$$


(b) $$\frac { 1 }{ 1\cdot 3 } +\frac { 1 }{ 2\cdot 4 } +\frac { 1 }{ 3\cdot 5 } +\frac { 1 }{ 4\cdot 6 } +\quad ...$$

(c) $$\ln { 2\quad +\quad \ln { \frac { 3 }{ 2 }  }  } +\quad \ln { \frac { 4 }{ 3 }  } +\quad \ln { \frac { 5 }{ 4 }  } +\quad ...$$

Answer 1

a) Spalte den Bruch in zwei Summanden, beide ergeben konvergente geometrische Reihen.

b) = sum (k=1 bis ∞) 1/(k*(k+2))

=1/2* sum (k=1 bis ∞) 1/(k)-1/(k+2)

= 1/2*[ (1/1 -1/3 +  1/2 - 1/4  +1/3 -1/5+1/4 -1/6

+....]=1/2*(3/2)=3/4

c)

LN(2)+LN(3/2)+LN(4/3)+...+LN((n+1)/n)

=LN(2*3/2*4/3*....*(n+1)/n)=LN(n+1)

---> divergiert